Exercice de 1ère sur la dérivation.

[Filipe73]

Bonjour je souhaiterais avoir de l'aide pour cet exercice.

Sujet: Une cabine de douche de forme parallélépipédique à base carrée est fabriquée à partir de 2 matériaux différents: le sol (carré) revient à 400€ par m² ; les cinq autres parois coûtent 100€ par m². Sachant que le coût total qu'on compte mettre dans cette cabine de douche est de 1500€, quelles sont les dimensions de la cabine si l'on veut que son volume soit le plus grand possible?

1) Exprimer le prix de la cabine en fonction de x (le côté du carré) et h (la hauteur de la cabine).
2) Montrer que h=15-5x²/4x .
3) Montrer que le volume de la cabine en fonction de x est: V(x)= - 5/4 x³ + 15/4x .
4) Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume est maximal.
5) Quelles sont alors les dimensions de la douche?

Mes réponses:
1) Le prix s'exprime : m(x)= 500x² + 400hx
2) 1500= 500x²+400hx
15=5x²+4hx
15-5x²/4x =h
3) V(x)=x²*(15/4x-5x²/4x)
V(x)= 15x²/4x - 5x²*²/4x = 15/4*x - 5/4*x³

Je vous remercie d'avance si vous pourriez vérifier les 3 premières réponses ainsi que m'aider pour la 4 et 5.

[annick]

Bonjour,

tes premières réponses sont justes.

Ensuite, tu as :

V(x)=( - 5/4 )x³ + (15/4)x

Pour trouver le volume maximal, il faut que tu dérives ta fonction et que tu fasses le tableau de variations.

Lorsque tu auras trouvé la valeur de x qui correspond au maximum, tu pourras trouver h.


Pour finir, tu pourras calculer le prix obtenu pour ces valeurs et vérifier qu'il est bien proche du prix maximal auquel tu as droit.

Par contre il n'était pas utile que tu ouvres deux fois ton sujet pour avoir une réponse !

[Filipe73]

Merci beaucoup pour ta réponse et pour la rapidité,

Pour la question 3 j'ai calculé V'(x)= -15/4x² + 15/4 puis j'ai fait 15/4*(-x²+1)=0 qui ma donné x²=1 et donc les deux valeurs de x²=1 sont -1 et 1. Mais je ne sais pas comment utiliser ces valeurs pour trouver le maximum.

[annick]

Le signe de la dérivée est du signe de a (le a de ax²+bx+c) à l'extérieur des racines, soit positif entre 0 et 1 et négatif après 1 (on ne tiens pas compte des valeurs de x inférieures à 0 car c'est une mesure qui ne peut donc être négative.

Si on ne connait pas cette règle de signes, on peut utiliser le fait que (1-x²)=(1-x)(1+x) et faire un tableau de signe avec ces deux facteurs, ce qui revient au même que précédemment.

Or le signe de la dérivée donne la croissance de la fonction.

Donc on voit bien que le maximum est obtenu pour x=1

[Filipe73]

Donc avec les valeurs -1 et 1 je dis que pour x=1 mètre on obtient le volume maximal.
Cela ne peut pas etre x= -1 , car c'est impossible ( je ne sais pas vraiment comment je pourrais justifier cela).

Est-ce correct?

[Filipe73]

Pardon mais je n'ai pas compris cette partie : "Si on ne connait pas cette règle de signes, on peut utiliser le fait que (1-x²)=(1-x)(1+x) et faire un tableau de signe avec ces deux facteurs, ce qui revient au même que précédemment."

[annick]

x=-1 n'est pas possible car il ne peut y avoir une mesure en mètres négatives, ce serait absurde.

Pour (1-x)(1+x), tu cherches le signe de (1-x), tu cherches celui de (1+x), tu fais un tableau de signes et tu appliques la règle des signes de la multiplication de deux facteurs pour trouver le signe de 1-x².

[Filipe73]

Ahh d'accord merci beaucoup.

Par contre pour la 5 est ce que vous pourriez me donner un indice parce que j'ai du mal à interpreter.

[Filipe73]

Ps: Par rapport aux 2 sujets je m'excuse car je m'étais trompé de catégorie.

[Filipe73]

Pour la questions 5 j'ai remplacé x par 1 dans toutes les fonctions et j'ai trouvé :

h=2.5m
V(1)=2.5mcube
S(surface du sol)=1m²

Je pense qu'il n'y a que ces 3 dimensions à apporter mais dites moi si je me trompe s'il-vous-plait.
La réponse est-elle correcte ?

Merci,

[annick]

Les dimensions à chercher, selon moi, n'étaient que x et h qui définissent ainsi complètement ta douche.

Je crois que tu peux te faire plus confiance car tu comprends bien les questions, tes réponses sont justes, que veut-on de plus ?

[Filipe73]

Merci beaucoup pour toute l'aide que vous m'avez apporté.
J'ai également ajouté le périmètre en plus, je suppose que ces éléments en plus ne seront pas sanctionnés normalement.