Evaluer un produit par recurrence

[youkoum]

Bonjour,

je cherche à résoudre le problème suivant, mais je suis sec!

Pour n entier, N>2 évaluer le produit :

Pn = (1-(1/2²))*(1-(1/3²))*(1-(1/4²)) ... (1-(1/n²))

Merci

YouKOuM

[echevaux]

Bonsoir

Remarque que

Même chose avec , ...

et plein de simplifications ...

[Huppasacee]

essaie de décomposer :

1-1/2² = (1+1/2)(1-1/2)

[youkoum]

Alors la désolé, mais va falloir m'expliquer.

Je n'arrive pas à voir la solution. Est qu'entendent ils par "evaluer le produit"?

[youkoum]

Résolu!

Effectivement avec P2 = 3/4
P3 = 2/3 = 4/6
et P4 = 5/8

Je dois pouvoir dire que Pn = (n+1)/ 2n

Je vérifie ensuite Pn+1 = Pn * (1-(1/n²))

[Huppasacee]

C'est par conjecture que tu as opéré

En décomposant

le produit des termes en -

(2-1)/2*(3-1)/3*(4-1)/4*.......(n-1)/n
1l reste 1/n

les autres

(2+1)/2*(3+1)/3*........(n+1)/n
il y a aussi des simplifications
ce qui nous donne le résultat conjecturé