Etude de fonction avec ln TS

[kl4im]

Bonjour,
j'ai un DM à faire mais je bloque sur la fonction :

On considère la fonction f définie sur R*, f(x)= x - ln(|x|)
1. Etudier la fonction f
2. On considère la droite Dm : y = x + m où m appartient à R.
a) Démontrer que, pour tout m, Dm coupe la RG de f en 2 points M1 et M2
b) Déterminer l'ensemble des milieux des segments [M1M2]
c) Tracer les tangentes à Cf aux points M1 et M2 pour m = 0.
d) Pour m quelconque, déterminer l'ensemble des points d'intersection des 2 tangentes à Cf aux points M1 M2.

Je bloque sur le fait qu'il y est une valeur absolue.
Pour la dérivée, le prob nous a donné une indication :
est la primitive de log (|u|)
Mais je ne vois pas comment m'en servir.
Comment dériver cette fonction ?

f'(x) = x - 1/x ?

Merci

[anima]

Bonjour,
j'ai un DM à faire mais je bloque sur la fonction :

On considère la fonction f définie sur R*, f(x)= x - ln(|x|)
1. Etudier la fonction f
2. On considère la droite Dm : y = x + m où m appartient à R.
a) Démontrer que, pour tout m, Dm coupe la RG de f en 2 points M1 et M2
b) Déterminer l'ensemble des milieux des segments [M1M2]
c) Tracer les tangentes à Cf aux points M1 et M2 pour m = 0.
d) Pour m quelconque, déterminer l'ensemble des points d'intersection des 2 tangentes à Cf aux points M1 M2.

Je bloque sur le fait qu'il y est une valeur absolue.
Pour la dérivée, le prob nous a donné une indication :
est la primitive de log (|u|)
Mais je ne vois pas comment m'en servir.
Comment dériver cette fonction ?

f'(x) = x - 1/x ?

Merci

shhh....
f(x)= x - ln(|x|)
(u+v)' = u'+v'
f'(x) = 1 - 1/x

[kl4im]

Ah oui erreur bête.
Mais je crois pas que ce soit aussi simple avec la valeur absolue, sinon il n'y en aurai pas

[anima]

Ah oui erreur bête.
Mais je crois pas que ce soit aussi simple avec la valeur absolue, sinon il n'y en aurai pas

Si, vu que

[kl4im]

Si, vu que

Euh c'est quoi ça ?

[annick]

Bonjour,
Tu peux aussi enlever les valeurs absolues : si x>0, abs(x)=x et si x<0, abs(x)=-x
Tu es alors amené à étudier deus fonctions :
x<0 f(x)=x-ln(-x)
x>0 f(x)=x-ln(x)
Et tu peux regrouper tout cela dans un tableau en ne perdant jamais de vue tes valeurs de x

[anima]

Euh c'est quoi ça ?

La définition du logarithme. Le logarithme est l'aire comprise sous la courbe 1/x entre 1 et x. Or, l'aire est toujours positive :we:

[kl4im]

D'accord
alors quand x > 0, |x|=x donc f1(x) = x - ln(x) donc f'1(x)= 1 - 1/x
quand x < 0, |x|=-x donc f2(x) = x - ln(x) f'2(x)=1 + 1/x

f'1(x) = 0 <=> x = 1
f'1(x) < 0 <=> x < 1
f'1(x) > 0 <=> x > 1

f'2(x) = 0 <=> x = -1
f'2(x) < 0 <=> x < -1
f'2(x) > 0 <=> x > -1

Comment en déduire le signe de la dérivée sachant que la fonction a deux dérivées ?

[kl4im]

La définition du logarithme. Le logarithme est l'aire comprise sous la courbe 1/x entre 1 et x. Or, l'aire est toujours positive :we:

J'ai jamais vu ça donc je peux pas l'utiliser. Merci quand même

[anima]

D'accord
alors quand x > 0, |x|=x donc f1(x) = x - ln(x) donc f'1(x)= 1 - 1/x
quand x x = 1
f'1(x) x 0 x > 1

f'2(x) = 0 x = -1
f'2(x) x 0 x > -1

Comment en déduire le signe de la dérivée sachant que la fonction a deux dérivées ?

En utilisant une fonction dans son intervalle (]-inf;0[), et l'autre dans l'autre intervalle... :ptdr:

[kl4im]

Ah ok.

Voici ce que je trouve pour le tableau de variations :

x000-oo0000-1000000000+10000+oo
f'(x)00000-00000+00ll00-00000+
f croiss. déc. croiss. déc.

Est-ce que ca parait bon ?

Et pour faire les limites, par exemple, lim en -oo, j'utilise la fonction
f2(x) = x + 1/x ?
A gauche en 0 f2 et à droite f1 ?
C'est le bon principe ou pas ?

[kl4im]

Je crois que c'est faux.
Est-ce que je peux utiliser ce que le prof nous a donné comme astuce ?
C'est-à-dire : une primitive de ln(|u|) est u'/u
Est-ce que je peux renverser sans problème cette propriété de ln pour dire que la dérivée de ln(|u|) est u'/u ?

Parce que dans ce cas, la dérivée de ma fonction est f'(x)=1 - 1/x
Mais j'ai un problème avec les variations

f'(x)=0 <=> x = 1
f'(x)<0 <=> x < 1
f'(x)>0 <=> x > 1
Est-ce correct?

[anima]

Je crois que c'est faux.
Est-ce que je peux utiliser ce que le prof nous a donné comme astuce ?
C'est-à-dire : une primitive de ln(|u|) est u'/u
Est-ce que je peux renverser sans problème cette propriété de ln pour dire que la dérivée de ln(|u|) est u'/u ?

Parce que dans ce cas, la dérivée de ma fonction est f'(x)=1 - 1/x
Mais j'ai un problème avec les variations

f'(x)=0 x = 1
f'(x) x 0 x > 1
Est-ce correct?

T'as pas bien écouté ton prof.

une primitive de ln(|u|) est u'/u
FAUX! ARCHI-FAUX! Car une primitive de u'/u est ln(|u|)+k!
Donc la dérivée de ln(|u|)+k est u'/u

f(x) = x-ln|x|
f'(x) = 1-1/x
f(x) = 0 ssi x=1
f'(x) 0 ssi x1
Ne pas oublier le changement de signe de 1/x

[kl4im]

D'accord j'ai compris pour la relation primitive/dérivée.

Par contre je ne vois pas comment on arrive à f'(x) < 0 ssi 0Pareil pour f'(x) > 0 ssi x<0 ou x>1

[anima]

D'accord j'ai compris pour la relation primitive/dérivée.

Par contre je ne vois pas comment on arrive à f'(x) 0 ssi x1

f'(x) = 1-1/x
f'(x) = 0 ssi x=1.
Ca t'avais trouvé. Je t'éclaire de mes lanternes pour le pourquoi:
On veut quand 1>1/x pour quand f'(x)>0. 1 est supérieur à 1/x si et seulement si x est supérieur à 1, ou négatif.
Tu peux donc écrire que f'(x)>0 ssi x€]-infini;0[U]1;+infini[
Ensuite, comme le reste du domaine (]0;1[) n'est pas positif, il est forcément négatif :++:

[kl4im]

Merci beaucoup j'ai compris.
Je vais m'attaquer aux limites. Je viendrais donner ce que je trouve.

[kl4im]

Petite question :
pour les limites aux bornes du domaine de définition, c'est-à-dire en -infini, +infini et à gauche et à droite de 0, comment dois-je considérer la fonction?

Pour -infini et à gauche de 0, considérer la fonction pour x<0 ? f(x)=x-ln(-x)
Pour à droite de 0 et +infini, prendre f(x)=x-ln(x) ?

[anima]

[quote="kl4im"]Petite question :
pour les limites aux bornes du domaine de définition, c'est-à-dire en -infini, +infini et à gauche et à droite de 0, comment dois-je considérer la fonction?

Pour -infini et à gauche de 0, considérer la fonction pour x0, tu prends x-lnx
x<0 tu prends x-ln(-x) :we:

[kl4im]

On sait que lim (x->+inf) ln(x)/x = 0
mais lim (x->+inf) x/ln(x) ??
Même en modifiant l'écriture, je ne tombe que sur des indéterminations pour toutes les limites. J'ai pourtant essayer de factoriser par x, ln(x)

[anima]

On sait que lim (x->+inf) ln(x)/x = 0
mais lim (x->+inf) x/ln(x) ??
Même en modifiant l'écriture, je ne tombe que sur des indéterminations pour toutes les limites. J'ai pourtant essayer de factoriser par x, ln(x)

x>0, tu prends x-lnx
x0 en étant positif. On a donc f(x)=x-lnx
f(x) = x(1-(lnx)/x)
En cas de forme indéterminée, les puissances de x l'emportent toujours sur le logarithme (car le logarithme est la fonction réciproque de l'expo et tout le tralala):
f(x) donnd une forme indéterminée.
x-lnx f(x)=lne^x-ln(x)
= ln(e^x/x)
e^x/x tend vers 1 quand x->0 en étant positif (l'expo l'emporte sur toute puissance en cas de forme indéterminée), donc le tout tend vers zéro.