N et Z equipotents

[t.itou29]

Bonjour,
J'aimerais montrer que N et Z sont équipotents pour appliquer mon cours:
Soit une application de de N dans lui-même définie par et une application de N dans Z/N* définie par , il est clair que ces applications sont bijectives.
On définit l'application f de N dans Z par:

De façon imagée on a f(0)=0, f(1)=-1, f(2)=1, f(3)=-2...
Il est facile de prouver que f est bijective. Il existe donc une bijection de N dans Z, d'où N et Z equipotents.
Est-ce correct ? (J'ai pas mis les détails pour les bijections)
Ah si cela veut-il dire qu'il y "autant" de nombres dans N que dans Z ?

[Monsieur23]

Aloha,

Oui c'est bon (excepté que ton psi doit partir de N* pour arriver dans Z\N* : il vaut mieux prendre psi de N dans Z\N* définie par psi(n) = -(n+1). )

[t.itou29]

Aloha,

Oui c'est bon (excepté que ton psi doit partir de N* pour arriver dans Z\N* : il vaut mieux prendre psi de N dans Z\N* définie par psi(n) = -(n+1). )

Ah oui c'est vrai que c'est plus pratique ! Merci
Et l'idée qu'il y ait autant de nombre dans N que dans Z est un peu difficile à concevoir.

[Monsieur23]

Ah oui c'est vrai que c'est plus pratique ! Merci
Et l'idée qu'il y ait autant de nombre dans N que dans Z est un peu difficile à concevoir.

C'est une question d'habitude.

Si ça t'amuse, tu peux aussi montrer qu'il y a autant de nombre dans N que dans N², et autant dans N que dans Q !

[t.itou29]

C'est une question d'habitude.

Si ça t'amuse, tu peux aussi montrer qu'il y a autant de nombre dans N que dans N², et autant dans N que dans Q !

Je vais essayer ça doit être un peu plus difficile surtout avec Q, mais faut que je fasse mes devoirs et en particulier trouve un sujet de TPE avant de faire des maths pour m'amuser ! Des idées ?

[Sylviel]

Il y a un thème pour le TPE ? Parce que si tu t'amuse autour de l'équipotence il y a des choses à faire (ou plutôt à comprendre ;-) sur le domaine...

[t.itou29]

Il y a un thème pour le TPE ? Parce que si tu t'amuse autour de l'équipotence il y a des choses à faire (ou plutôt à comprendre sur le domaine...

Oui mais ils sont tellement larges qu'on peut choisir quasiment ce qu'on veut ! Ça m'intéresserait mais convaincre les autres de faire un TPE sur quelque chose d'aussi abstrait c'est impossible (malheureusement!). Finalement on a trouvé un compromis avec un sujet sur les examens médicaux comme l'IRM, la radio...

[Sourire_banane]

Salut

Je vais essayer ça doit être un peu plus difficile surtout avec Q, mais faut que je fasse mes devoirs et en particulier trouve un sujet de TPE avant de faire des maths pour m'amuser ! Des idées ?

Les matières à caser ?

[t.itou29]

Salut

Les matières à caser ?

Dans notre cas ce sera physique et svt et j'espère un peu de maths

[t.itou29]

Parce que si tu t'amuse autour de l'équipotence

Je dirais pas que ça m'amuse (un peu quand même!) mais ça change du lycée où l'on fait, pour l'instant, juste de l'application bête de formule à la chaîne

[Sourire_banane]

Dans notre cas ce sera physique et svt et j'espère un peu de maths

J'ai eu la même.

Ben le must c'est de ressortir quelque chose sur les techonologies et l'écologie, ou sur de la biorobotique. Mais tu peux trouver plus original.

[t.itou29]

J'ai eu la même.

Ben le must c'est de ressortir quelque chose sur les techonologies et l'écologie, ou sur de la biorobotique. Mais tu peux trouver plus original.

J'aurai bien aimé trouver plus original mais faut trouver un compromis entre les membres du groupes, on va faire un avec et puis à défaut du fond la forme peut-être originale (après comment ?)
Et juste une question j'essaie de montrer que N et NxN sont équipotents mais je n'y arrive pas. Je verrai bien des fonctions et faire un peu comme l'exemple de N et Z où l'on utilise la parité pour alterner mais ici je vois pas comment faire comme la parité n'est pas possible il me faudrait un autre critère. Peut-être que je fais complétement fausse route. J'aurai besoin d'une piste (pas la réponse)

[capitaine nuggets]

Salut !

Tu peux montrer que et sont équipotent en montrant la bijectivité de l'application définie par .

En fait,

[t.itou29]

Salut !

Tu peux montrer que et sont équipotent en montrant la bijectivité de l'application définie par .

En fait,

Salut !
Avec N et Z j'avais réussi mais avec une méthode différente (en partant de N vers Z) par contre c'est avec N et que je n'arrive pas.
Je viens de relire votre message, si on prend 3, il n'a pas d'antécédent par phi ?

[capitaine nuggets]

Salut !
Avec N et Z j'avais réussi mais avec une méthode différente (en partant de N vers Z) par contre c'est avec N et que je n'arrive pas

Ouais, j'te donnais juste deux trois trucs supplémentaires vu que ça semblait t'intéresser :++:

On pourrais expliciter une application pour montrer que \mathbb{N} et \mathbb{N}^2 mais ce serait fastidieux.
Trouver une telle bijection revient en fait à dénombrer les points entiers du plan :

Considère les premiers points :
P_0=(0,0)
P_1=(1,0)
P_2=(0,1)
P_3=(0,2)
P_4=(1,1)
P_5=(2,0)
P_6=(3,0)
P_7=(2,1)
P_8=(1,2)
P_9=(0,3)
etc...

Fait un dessin pour mieux comprendre.

[capitaine nuggets]

tu peux même montrer en faisant une espèce de spirale avec les point à coordonnées entières que N et Z² sont équipotent

[t.itou29]

Ouais, j'te donnais juste deux trois trucs supplémentaires vu que ça semblait t'intéresser :++:

On pourrais expliciter une application pour montrer que \mathbb{N} et \mathbb{N}^2 mais ce serait fastidieux.
Trouver une telle bijection revient en fait à dénombrer les points entiers du plan :

Considère les premiers points :
P_0=(0,0)
P_1=(1,0)
P_2=(0,1)
P_3=(0,2)
P_4=(1,1)
P_5=(2,0)
P_6=(3,0)
P_7=(2,1)
P_8=(1,2)
P_9=(0,3)
etc...

Fait un dessin pour mieux comprendre.

Ok, c'est vrai que visuellement c'est plus parlant Pour expliciter une application est-ce les outils utilisés qui sont compliqués ou le niveau de réflexion qui est élevé ? Que je me casse pas la tête pour rien !

[capitaine nuggets]

Ok, c'est vrai que visuellement c'est plus parlant Pour trouver une expliciter une application est-ce les outils utilisés qui sont compliqués ou le niveau de réflexion qui est élevé ? Que je me casse pas la tête pour rien !

Je pense pas qu'il faille utiliser des outils bien compliqué, mais définir cette application par un processus (plus complet que ce que j'ai pu dire : 9 points et etc ne suffisent pas !) paraît plus simple.
Après je pense qu'on pourrait expliciter cette application, mais ça deviendrait vite lourdingue (j'ai tenté mais j'ai arrêté au bout d'un moment car c'est vraiment chercher pour un formule pas forcément compréhensible au premier abord (ca dépend de comment tu pars)).

Au fait, une petite remarque. Pour montrer que A est équipotent à B, tu peux toujours montrer que A est équipotent à un certain C, lui-même équipotent à B et le tour est joué.
Ce "découpage" d'équipotence peux parfois être utile.

[t.itou29]

Je pense pas qu'il faille utiliser des outils bien compliqué, mais définir cette application par un processus (plus complet que ce que j'ai pu dire : 9 points et etc ne suffisent pas !) paraît plus simple.
Après je pense qu'on pourrait expliciter cette application, mais ça deviendrait vite lourdingue (j'ai tenté mais j'ai arrêté au bout d'un moment car c'est vraiment chercher pour un formule pas forcément compréhensible au premier abord (ca dépend de comment tu pars)).

Au fait, une petite remarque. Pour montrer que A est équipotent à B, tu peux toujours montrer que A est équipotent à un certain C, lui-même équipotent à B et le tour est joué.
Ce "découpage" d'équipotence peux parfois être utile.

Merci je vais arrête de me "torturer l'esprit" alors ! Et si, pour montrer que A l'ensemble des entiers pairs et N sont équipotents, est-ce que l'application de N dans A définie par suffit ?
Je trouve ça vraiment intéressant ces histoires d'ensembles !

[t.itou29]

Et que ce principe marche aussi pour les produits cartésiens: par exemple pour montrer que et sont équipotents peut-on dire que N est équipotent à Z* et à lui-même donc et NxZ* sont équipotents ?