Densité et ensembles équipotents

[Waax22951]

Bonjour,
Je me demande si la proposition suivante est vraie, et je vous demande votre aide pour répondre à mon interrogation, puisque je ne pense pas être en mesure de pouvoir y répondre.. :

Proposition:
Soit E un ensemble infini. Une partie A de E est dense dans E si, et seulement si elle est en bijection avec une autre partie B dense dans E. (Evidemment A et B sont différents).

Je doute tout de même de sa véracité, d'où le fait que je demande de l'aide aux membres du forum.

Bonne soirée !

[Manny06]

Bonjour,
Je me demande si la proposition suivante est vraie, et je vous demande votre aide pour répondre à mon interrogation, puisque je ne pense pas être en mesure de pouvoir y répondre.. :



Je doute tout de même de sa véracité, d'où le fait que je demande de l'aide aux membres du forum.

Bonne soirée !

d'où vient cette définition ?
en principe A est dense dans E si l'adhérence de A est égale à E

[Waax22951]

Justement je me pose la question si cette proposition est vraie, donc elle ne vient pas d'un cours où de quoi que ce soit d'autre. C'est vrai que le question peut paraitre bête, mais je me pose tout de même la question..

En fait je viens de me rendre compte que ma proposition est totalement fausse, et il y a un exemple très simple: Q et N sont équipotents mais Q est dense dans R, contrairement à N..!
Désolé pour avoir posé une question aussi bête !

Du coup, j'ai juste une autre question: Existe-t-il une définition équivalente pour la densité ? :hein:

Bonne soirée !

[Luc]

Justement je me pose la question si cette proposition est vraie, donc elle ne vient pas d'un cours où de quoi que ce soit d'autre. C'est vrai que le question peut paraitre bête, mais je me pose tout de même la question..

En fait je viens de me rendre compte que ma proposition est totalement fausse, et il y a un exemple très simple: Q et N sont équipotents mais Q est dense dans R, contrairement à N..!
Désolé pour avoir posé une question aussi bête !

Du coup, j'ai juste une autre question: Existe-t-il une définition équivalente pour la densité ? :hein:

Bonne soirée !

Bonjour Waax,

Il est naturel de comparer la notion de taille d'une partie A d'un ensemble E sous plusieurs sens :

1. au sens du nombre d'éléments : (cardinal de A dénombrable ou non)
2. au sens de la métrique : peut-on approcher des éléments de E par des éléments de A aussi proches que l'on veut?
3. au sens de la mesure (de Lebesgue) : quel est le "volume" de A?

Ces notions n'ont pas grand chose à voir l'une avec l'autre, en effet

- on peut avoir une partie de R "grande" au sens 1. qui est petite au sens de 2. : l'intervalle [0,1] est non dénombrable, mais on ne pourra jamais approcher le réel 10 à 0,5 près par exemple.

- on peut avoir une partie de R grande au sens 2 mais petite au sens 1 : Q, dense dans R mais dénombrable.

- on peut avoir une partie de R grande au sens 1. et petite au sens 3. : par exemple l'ensemble de Cantor http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Cantor, qui est de mesure nulle -ne contient aucun intervalle- mais qui est équipotent à R.

- on ne peut pas avoir une partie de R petite au sens 1 et grande au sens 3 : en effet, une partie dénombrable est forcément de mesure nulle (ou encore, de façon équivalente, une partie qui contient un intervalle non vide est forcément non dénombrable).

- on peut avoir une partie de R grande au sens 2 et petite au sens 3 : Q, dense dans R mais ne contient aucun intervalle, donc de mesure nulle.

- on peut avoir une partie de R petite au sens 2 et grande au sens 3 : R+, qui ne pourra pas approcher -1, mais qui est de mesure infinie.


Luc

[Waax22951]

Bonjour,
Merci pour tous ces renseignements, je vois maintenant pourquoi j'ai fait l'amalgame entre des notions différentes..! :lol3:
J'ai voulu me renseigner sur ce qu'est la mesure de Lebesgue (formellement), mais je n'ai toujours pas compris sa définition.. :hein:
Je sais que l'on peut assimiler la mesure de Lebesgue au calcul d'une aire ou d'un volume dans des dimensions supérieures, mais je ne vois tout de même pas comment elle se définie..
La définition de wikipédia est la suivante:

Théorème et définition — Il existe une plus petite mesure définie sur une tribu de qui soit complète et coïncide sur les pavés avec leur volume (c'est-à-dire le produit des longueurs de leurs côtés).

Je ne comprends pas ce que signifie "plus petite mesure", de quelle manière une mesure peut-elle être "petite" puisqu'il s'agit d'une application ?
De même, que signifie "qui [...] coïncide sur les pavés avec leur volume" ?

Merci d'avance et bonne soirée ! :we: