Equilatéral tout entier ?

[PaTaPoOF]

Bonsoir à tous,
A mon tour de poser une question ;)
Je voudrais savoir ce que vous répondriez à l'affirmation suivante :
"Il n'existe pas de triangles équilatéraux dont les sommets sont à coordonnées entières".
C'est un énoncé à part entière... je bloque un peu.
Je pense qu'il faut raisonner par l'absurde en utilisant une rotation, alors je suis passé par les complexes, et je suis bloqué.
Si quelqu'un a des idées...
Merci beaucoup :)

[danskala]

Salut,

Supposons qu'il existe un triangle ABC dont les sommets ont des coordonnées entières.

On peut se contenter d'étudier le cas où A est à l'origine du repère.
En effet, si ce n'est pas le cas, on s'y ramène par une translation dont le vecteur a des coordonnées entières (-xA;-yA). Du coup, le translaté du triangle a lui aussi des coordonnées entières.

ABC est équilatéral donc C est l'image de B par une rotation de centre A (qui est à l'origine O) et d'angle +60° ou - 60°.
Je suppose que l'angle est +60°.

En passant par les complexes comme tu l'as suggéré, on a :
exp(i*pi/3)*z(B) = z(C)

d'où
(1/2 + i*(V3)/2)*(x(B) + iy(B)) = x(C) + iy(C)

donc
x(B)/2 - y(B)*(V3)/2 = x(C)
et
(V3)/2*x(B) + y(B)/2 = y(C)

si y(B) = 0 alors on peut dire que x(B) est non nul sinon B serait, comme A, à l'origine du repère et le triangle ABC n'en serait pas un.
la 2ème relation donne donc
V3 = 2y(C)/x(B)
y(C) et x(B) étant supposés entiers, V3 serait donc rationnel !! Aburde.

si y(B) est non nul, alors la 1ère relation donne:
V(3) = (x(B) - 2x(C))/y(B)
x(B),x(C) et y(B) étant supposés entiers, V3 serait donc rationnel !! Aburde.

Donc les sommets de ABC ne peuvent pas avoir de coordonnées entières.

Voilà.

Bye.

[PaTaPoOF]

Comme d'habitude j'avais quelques éléments de réponse mais un peu de mal à mettre en oeuvre mes idées... merci beaucoup pour ta réponse, je suis impressionné :)