Équation de type cos(x)=x^n

par **alexis6** » 20 Fév 2015, 20:18

Bonjour,

Aujourd'hui, je me suis intéressé à un certain type d'équation: il s'agit de cos(x)=x^2. L'existence est facile à prouver, mais avec un ami, on a essayé de résoudre cette équation ( essayant de trouver une solution exacte ) avec nos connaissances de terminale, et on y est pas arrivé. Je suis en Terminale S, et donc je demande à mon professeur comment trouver x. Il ( le prof ) regarde l'équation pendant quelques minutes, puis il me dit comme ça: " en fait je n'en ai aucune idée ". Intrigué, je cherche sur internet, et je ne vois pas de solution exacte, certains forums parlent de solution irrationnelle, et je pense en effet qu'elle est l'ayant approximée avec ma calculatrice et l'algorithme de Newton... Toutefois, il me reste quelques interrogations:
- Comment prouver lirrationalité de x?
- Et plus dur, selon moi, comment prouver que x ne peut pas s'écrire de façon exacte?

La il convient de préciser ce que signifier pour moi ce que signifie exact: c'est une expression qui s'écrit sans x, de façon littérale, par exemple, racine de 5, bref, je crois que vous avez compris...

Merci pour tout réponse!

par **t.itou29** » 20 Fév 2015, 20:37

alexis6 a écrit:Bonjour,

Aujourd'hui, je me suis intéressé à un certain type d'équation: il s'agit de cos(x)=x^2. L'existence est facile à prouver, mais avec un ami, on a essayé de résoudre cette équation ( essayant de trouver une solution exacte ) avec nos connaissances de terminale, et on y est pas arrivé. Je suis en Terminale S, et donc je demande à mon professeur comment trouver x. Il ( le prof ) regarde l'équation pendant quelques minutes, puis il me dit comme ça: " en fait je n'en ai aucune idée ". Intrigué, je cherche sur internet, et je ne vois pas de solution exacte, certains forums parlent de solution irrationnelle, et je pense en effet qu'elle est l'ayant approximée avec ma calculatrice et l'algorithme de Newton... Toutefois, il me reste quelques interrogations:
- Comment prouver lirrationalité de x?
- Et plus dur, selon moi, comment prouver que x ne peut pas s'écrire de façon exacte?

La il convient de préciser ce que signifier pour moi ce que signifie exact: c'est une expression qui s'écrit sans x, de façon littérale, par exemple, racine de 5, bref, je crois que vous avez compris...

Merci pour tout réponse!

Salut !
Ça semble assez intéressant

Pour l'irrationalité ça doit se faire par l'absurde: si on suppose que l'équation admet une solution rationnelle

avec a et b premiers entre eux, alors

et donc

et on obtient une contradiction (la seule possibilité serait que cos(a/b)=1, -1 ou 0 mais ça ne convient pas)

par **zygomatique** » 20 Fév 2015, 20:38

salut

effectivement je ne crois pas qu'il existe une expression exacte de la solution ... de cette équation transcendante ....

par **alexis6** » 20 Fév 2015, 21:01

t.itou29 a écrit:Salut !
Ça semble assez intéressant
Pour l'irrationalité ça doit se faire par l'absurde: si on suppose que l'équation admet une solution rationnelle avec a et b premiers entre eux, alors et donc et on obtient une contradiction (la seule possibilité serait que cos(a/b)=1, -1 ou 0 mais ça ne convient pas)

Salut,

Merci pour cette démonstration. Je pensais que ça allait être plus compliqué... ( en même temps, je suis encore catégorisé comme membre rationnel... - Humour - ). Mais en fait c'est accessible tout compte fait. Zygomatique a suggéré que l'équation était transcendante ( c'est à dire que x n'est pas solution d'un polynôme, il me semble... ), et qu'il n'y avait donc pas de solution exacte.

Expliquez-moi: y a t-il un lien quelconque entre irrationalité et transcendance? Et comment montrer la transcendance?

par **t.itou29** » 20 Fév 2015, 21:23

On peut aussi montrer que la suite des solutions positives de

converge vers 1, ça fait un petit problème sur les suites

par **t.itou29** » 20 Fév 2015, 21:50

alexis6 a écrit:Salut,

Merci pour cette démonstration. Je pensais que ça allait être plus compliqué... ( en même temps, je suis encore catégorisé comme membre rationnel... - Humour - ). Mais en fait c'est accessible tout compte fait. Zygomatique a suggéré que l'équation était transcendante ( c'est à dire que x n'est pas solution d'un polynôme, il me semble... ), et qu'il n'y avait donc pas de solution exacte.

Expliquez-moi: y a t-il un lien quelconque entre irrationalité et transcendance? Et comment montrer la transcendance?

Honnêtement j'en ai aucune idée... Ça doit pas être évident (si c'est possible !) . Après je ne connais de la transcendance que sa définition (je suis en TS aussi), je laisse Zygomatique répondre il doit mieux s'y connaître

par **alexis6** » 20 Fév 2015, 22:05

t.itou29 a écrit:Honnêtement j'en ai aucune idée... Ça doit pas être évident (si c'est possible !) . Après je ne connais de la transcendance que sa définition (je suis en TS aussi), je laisse Zygomatique répondre il doit mieux s'y connaître

Oui en tous cas merci pour ton aide... Je vais regarder ton problème de suites ça a l'air sympa aussi.

par **zygomatique** » 21 Fév 2015, 10:04

un irrationnel c'est tout simplement pas un rationnel (un quotient d'entiers) :ptdr:

mais

est algébrique car solution de l'équation polynomiale

à coefficients entiers

sont transcendants ....

il n'existe pas de polynome P à coefficients entiers tel que P(e) = 0 ou p(pi) = 0

par **mathelot** » 21 Fév 2015, 10:51

deux pistes de réflexion pour ma part: polynômes de Tchebyshev ou adapter la démo de l'irrationnalité de

dûe à C.Hermite

par **alexis6** » 21 Fév 2015, 11:29

Salut,

mathelot a écrit:deux pistes de réflexion pour ma part: polynômes de Tchebyshev ou adapter la démo de l'irrationnalité de dûe à C.Hermite

Moi qui gardait un espoir de démonstration... Dès que l'on va vers des choses un peu originales on se trouve bloqué en terminale. Preuve que nos sujets d'étude sont vraiment très restreints. Je remercie tout de même Zygomatique pour sa définition de nombre transcendant.

par **chan79** » 21 Fév 2015, 11:32

mathelot a écrit:deux pistes de réflexion pour ma part: polynômes de Tchebyshev ou adapter la démo de l'irrationnalité de dûe à C.Hermite

Si x=cos(x) , alors x est transcendant, car, s'il était algébrique, son cosinus serait transcendant.

par **alexis6** » 21 Fév 2015, 12:19

chan79 a écrit:Si x=cos(x) , alors x est transcendant, car, s'il était algébrique, son cosinus serait transcendant.

Ne peut on pas généraliser avec cos(x)=x^n ?

Si x est algébrique, alors x^n également ( le produit de deux nombres algébriques est algébrique ). De plus cos(x) est transcendant, d'où une contradiction. Donc x est transcendant.

par **mathelot** » 21 Fév 2015, 12:22

alexis6 a écrit:Ne peut on pas généraliser avec cos(x)=x^n ?

Si x est algébrique, alors x^n également ( le produit de deux nombres algébriques est algébrique ). De plus cos(x) est transcendant, d'où une contradiction. Donc x est transcendant.

il n'y a pas de contradiction!!

si x est algébrique alors x est transcendant
si x est transcendant alors x est transcendant

donc x est transcendant (dans tous les cas)

par **alexis6** » 21 Fév 2015, 12:33

mathelot a écrit:il n'y a pas de contradiction!!

si x est algébrique alors x est transcendant
si x est transcendant alors x est transcendant

donc x est transcendant (dans tous les cas)

Je ne comprends pas. cos(x) ne peut pas être algébrique et transcendant à la fois non? Ce n'est pas une contradiction? Ou alors je n'ai pas compris du tout la définition. Je tentais un raisonnement par l'absurde sur le modèle de chan79.

De même pour l'irrationalité, si on considère cos(x)=x^n, il me semble que si on suppose x rationnel ( avec x=a/b, a et b premiers entre eux), alors a^n divise cos(a/b), donc cos(a/b) = 1, -1 ou 0. Et c'est impossible en remplaçant dans l'équation non? ( sur le modèle de titou 29 )

par **chan79** » 21 Fév 2015, 19:55

alexis6 a écrit:Ne peut on pas généraliser avec cos(x)=x^n ?

Si x est algébrique, alors x^n également ( le produit de deux nombres algébriques est algébrique ). De plus cos(x) est transcendant, d'où une contradiction. Donc x est transcendant.

Je suis OK avec ça.
(transcendant signifie non algébrique)

par **alexis6** » 21 Fév 2015, 20:35

Donc si je résume:
Pour n>=1

-L'équation cos(x)=x^n admet une ( n impair ) ou deux solutions ( n pair ) irrationnelles et transcendantes x1 et x2 avec x1=-x2. De plus quand n tend vers +inf, x tend vers 1

De même:

-L'équation sin(x)=x^n admet une, deux ou 3 solutions,
n=1 : une solution évidente pour x=0
n pair : une solution évidente pour x=0, l'autre irrationnelle et transcendante (et positive).
n impair : une solution évidente pour x=0, deux autres irrationnelles et transcendantes ( une positive, une négative ).

-L'équation tan(x)=x^n me semble plus compliquée à étudier...

par **mathelot** » 21 Fév 2015, 21:30

les solutions strictement positives de tanx=x se prêtent à des propriétés remarquables (somme de séries)

par **chan79** » 21 Fév 2015, 23:02

alexis6 a écrit:
-L'équation tan(x)=x^n me semble plus compliquée à étudier...

Essaie de voir avec

par **paquito** » 22 Fév 2015, 10:56

chan79 a écrit:Si x=cos(x) , alors x est transcendant, car, s'il était algébrique, son cosinus serait transcendant.

Est ce que cela veut dire que le cosinus d'un nombre algébrique est nécessairement transcendant?

J'aurais plutôt pensé que si a=cos(a), a et cos(a) sont de même nature. Transcendant, je pense mais...

par **chan79** » 22 Fév 2015, 11:09

paquito a écrit:Est ce que cela veut dire que le cosinus d'un nombre algébrique est nécessairement transcendant?

J'aurais plutôt pensé que si a=cos(a), a et cos(a) sont de même nature. Transcendant, je pense mais...

Si a est algébrique, alors cos(a), sin(a) et tan(a) sont transcendants (sauf si a=0 bien-sûr)

Équation de type cos(x)=x^n

Équation de type cos(x)=x^n

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