Équation de type cos(x)=x^n

[paquito]

Si a est algébrique, alors cos(a), sin(a) et tan(a) sont transcendants (sauf si a=0 bien-sûr)

merci, je ne pensais pas que l'on connaissait autant de nombre transcendants!

[zygomatique]

les nombres algébriques sont dénombrables (union dénombrable de dénombrables) ...

donc presque tous les nombres sont transcendants !!!!

[Robic]

Oui, mais paradoxalement on en connaît relativement peu (dont on a démontré la transcendance), et je pense que c'est de là que venait la remarque de Paquito.

[paquito]

Bonjour robic,

c'est tout à fait ce que je voulais dire; le travail à faire, par exemple, pour montrer que e et (ça se fait en même temps)sont transcendants est assez impressionnant et il est en général très difficile de montrer la transcendance d'un réel;
d'ailleurs pour montrer que l'ensemble des transcendants est gros, on montre que son complémentaire( les algébriques) est maigre; donc si on choisit un nombre au hasard dans [o; 1], l'événement "obtenir un nombre algébrique" est quasi impossible".
Enfin, il y a une nuance entre savoir qu'un nombre précis est transcendant et savoir qu'un nombre est transcendant; de plus si on considère R comme un Q-e.v. l'existence d'une base est problématique et dépend de l'axiome du choix.
Dernière question: est-ce a algébrique => cos(a) transcendant se montre facilement?

[chan79]

est-ce a algébrique => cos(a) transcendant se montre facilement?

je pense qu'on le montre généralement avec le théorème de Lindemann-Weierstrass
on a

[chan79]

est-ce a algébrique => cos(a) transcendant se montre facilement?

On le montre avec le théorème de Lindemann-Weierstrass
soit algébrique non nul
si était algébrique, alors serait non nul, ce qui est faux.
(c'est pas vraiment de niveau lycée)

[paquito]

On le montre avec le théorème de Lindemann-Weierstrass
soit algébrique non nul
si était algébrique, alors serait non nul, ce qui est faux.
(c'est pas vraiment de niveau lycée)

Merci, je me doutais bien que ce n'était pas évident!

[alexis6]

Je crois finalement que la démo de l'irrationnalité n'est pas bonne... Pourquoi cos (a/b) serait il forcément un entier??

[zygomatique]

des entiers entre -1 et 1 ... yenapas beaucoup ....

[paquito]

Je crois finalement que la démo de l'irrationnalité n'est pas bonne... Pourquoi cos (a/b) serait il forcément un entier??

Si , n'est pas un entier, donc la démonstration me gêne un peu, puisqu'on arrive à En tout cas, on ne peut pas direest premier avec, donc divise

Sinon soit f définie sur , à valeurs dans telle que l'équation admette au moins une solution; alors si et sont premiers entre-eux;
) conduit à , ce qui conduit à entier ce qui est contradictoire.

Donc on pourrait adapter cette "démonstration" à une quantité industrielle de fonctions; mais il suffit
de prendre sur on apour voir qu'il y a un problème;
ici,ça donne ; c'est donc qui doit être entier.

[t.itou29]

Si , n'est pas un entier, donc la démonstration me gêne un peu, puisqu'on arrive à En tout cas, on ne peut pas direest premier avec, donc divise

Je suis d'accord, c'est plus qu'un "gêne", elle est complètement fausse ! Je me suis avancé trop vite (comme d'habitude...). Du coup ça doit pas être si simple que ça ...

[alexis6]

Je suis d'accord, c'est plus qu'un "gêne", elle est complètement fausse ! Je me suis avancé trop vite (comme d'habitude...). Du coup ça doit pas être si simple que ça ...

De toute façon, la transcendance implique l'irrationnalité ( il suffit de prendre le polynôme bx-a), enfin je crois... Mais je trouve le théorème : " X algébrique cos (X) transcendant " un peu trop puissant et j'aurais voulu une vraie démo de l'irrationnalité pas une conséquence. Mais je ne trouve pas.

[paquito]

Bonjour,

j'ai regardé un peu ce que ça donnait avec les polynômes de Tchebychev, polynômes de degré n à coefficients entiers qui vérifient;
donc supposons que x soit la racine positive de , on a et si x est rationnelle, on aura , avec et a et b premiers entre eux.

Pour tout est rationnel et pour on arrive à rationnel. Le problème devient: existe-t'il un entier non-nul tel que soit rationnel.

Je ne sais pas si le problème est plus facile; j'ai vraiment l'impression de tourner en rond