Equation de tangente

[journia]

Bonjour ,
Je m'adresse à vous aujourd'hui au sujet d'un exercice dont voici l'énoncé ainsi que les réponses :

Soit f(x)=(x au cube+3x)/(3x²+1) définie sur R et sa courbe représentative est définie dans un repère orthogonal.
1) Pour tout x : 3x puissance 4-6x²+3=3(x²-1)² , montrez le.
En développant 3(x²-1)² j'ai retrouvé 3x puissance 4-6x²+3.

2) Je dois calculer f'(x)
J'ai trouvé f'(x)=(3x;)+6x²+3)/(3x²+1)

3) Etudiez le signe de f'(x) et faire le tableau de variation de f
x -infini -1 1 +infini
3 + + +
(x²-1)² + 0 + 0 +
(3x+1)² + + +
f'(x) + 0 + 0 +
f(x) croissante -1 croissante1 croissante

4)Déterminer une équation de la tangente Cf au point d'abscisse 0
J'ai trouvé y=3x

5)Représentez graphiquement f et sa tangente
J'écris que :
Cf passe par (-1;-1) et (1;1)
Cf admet deux tangentes horizontales en (-1;-1) et (1;1)
La tangente passe par A(0;0)
Elle a pour coefficient directeur v(1;3)
Lorsque je trace f et la tangente, elles se coupent.

Merci pour vis éventuelles réponses.

[siger]

Bonjour,

Une erreur de signe dans le calcul de la derivée
f'(x) = (3(x^4 -2x²+1)/(3x²+1)²
et compte tenu de 1
= 3[(x²-1)/(3x²+1)]²

[journia]

Bonjour,

Une erreur de signe dans le calcul de la derivée
f'(x) = (3(x^4 -2x²+1)/(3x²+1)²
et compte tenu de 1
= 3[(x²-1)/(3x²+1)]²

Tout d'abord, merci de me répondre, mais je n'ai pas compris votre remarque.
Pouvez vous me dire si mon tableau de signe et variation est correct ?

[siger]

re

f(x)= (x^3+3x)/(3x^2+1)
de la forme u/v avec (u/v)' = ( vu'-uv')v^2
u = x^3 + 3x et u'= 3x^2+3
v= 3x^2+ 1et v' = 6x
d'ou
vu' = (3x^2+3)(3x^2+1)
uv´ = 6x( x^3+3x)
.....
et en utilisant 3x^4-6x^2+3 = 3(x^2-1)
.....

la derivee est alors toujours positive

[journia]

re

f(x)= (x^3+3x)/(3x^2+1)
de la forme u/v avec (u/v)' = ( vu'-uv')v^2
u = x^3 + 3x et u'= 3x^2+3
v= 3x^2+ 1et v' = 6x
d'ou
vu' = (3x^2+3)(3x^2+1)
uv´ = 6x( x^3+3x)
.....
et en utilisant 3x^4-6x^2+3 = 3(x^2-1)
.....

la derivee est alors toujours positive

Merci beaucoup, je vais essayer de le refaire sur une feuille.
Est ce que cela a eu un impact sur ma construction de tangente et de courbe avec lesquelles j'ai des problèmes, en effet lorsque que je les représente graphiquement cela n'a rien à voir avec la définition d'une tangente que j'ai apprise.
Encore merci

[journia]

re

f(x)= (x^3+3x)/(3x^2+1)
de la forme u/v avec (u/v)' = ( vu'-uv')v^2
u = x^3 + 3x et u'= 3x^2+3
v= 3x^2+ 1et v' = 6x
d'ou
vu' = (3x^2+3)(3x^2+1)
uv´ = 6x( x^3+3x)
.....
et en utilisant 3x^4-6x^2+3 = 3(x^2-1)
.....

la derivee est alors toujours positive

D'accord, mais pouvez vous me dire si c'est normal de trouver une courbe droite avec la tangente la coupant .

[siger]

re

OK la tangente a l'origine est bien y=3x
la courbe est symetrique par rapport a l'origine ( f(x) = -f(-x) )

il y a 2 tangentes horizontales pour x^2-1=0, c'est a dire x =+\-1
( ce sont des points d'inflexion, donc la tangente en ces points " traverse" la courbe)

[journia]

re

OK la tangente a l'origine est bien y=3x
la courbe est symetrique par rapport a l'origine ( f(x) = -f(-x) )

il y a 2 tangentes horizontales pour x^2-1=0, c'est a dire x =+\-1
( ce sont des points d'inflexion, donc la tangente en ces points " traverse" la courbe)

Merci encore pour ces explications.
La dérivée que j'ai calculé était correcte ?
Le tableau de signe et de variation ne change pas ?
La tangente passe par (00), elle a pour vecteur directeur (1,3), la courbe passe par (-1;-1) et (1,1) et elle admet deux tangentes horizontales, est ce juste ?

[siger]

re

je ne sais pas de quel calcul tu parles pour la derivee
le resultat est f´( x)= 3( x^2-1)^2/(3 x^2+1)^2 donc toujours positive
la courbe est toujours croissante

remarque en complement : f(x) est equivalente a x/3 si x tend vers l'infini et la courbe admet une asymptote oblique y = x/3

[journia]

re

je ne sais pas de quel calcul tu parles pour la derivee
le resultat est f´( x)= 3( x^2-1)^2/(3 x^2+1)^2 donc toujours positive
la courbe est toujours croissante

remarque en complement : f(x) est equivalente a x/3 si x tend vers l'infini et la courbe admet une asymptote oblique y = x/3

D'accord, merci beaucoup. En fait, étant donné que la tangente au point d'abscisse 0 coupe la courbe, je pensais que j'avais faux puisque mon professeur m'avait dit qu'une tangente à une courbe en un point A est la droite la plus proche de la courbe autour du point A.
Merci encore.