Equation polynomiale

[Fabju52]

Bonjour à tous,
étant rouillé en math, je galère avec mon équation polyn. de degré 4, pouvez-vous m'aider svp ?
soit y = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e avec a,b,c,d,e et x connu

Comment je transforme cette équation lorsque je dois trouver x ? donc avec a,b,c,d,e et y connu?
Merci

[Pisigma]

Bonjour,

vois un peu ici http://images.math.cnrs.fr/Resolution-des-equations-de-degre-3-et-4.html

tu trouveras sans doute ce que tu recherches

[Pisigma]

si tu ne t'intéresses qu'à la recherche des racines, tu pourrais essayer sur Wolfram (https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/)

[Fabju52]

Merci pour tes réponses, je vais creuser dans ce sens

[mathelot]

Comment je transforme cette équation lorsque je dois trouver x ? donc avec a,b,c,d,e et y connu?
Merci

Est ce que a b c d e y sont connus avec des valeurs numériques bien définies ou sont seulement supposés connus ?

[Fabju52]

Elles sont bien définies

[mathelot]

Elles sont bien définies

Quelles sont leurs valeurs ? La question est,,"résout-on une équation particulière ou cherche t on, au contraire, une formule générale ?"

[Pisigma]

Bonsoir mathelot, je crois que Fabju52 veut une réponse précise à un énoncé plus que vague !!!

Il ne se rend pas compte que ça va être difficile!

[mathelot]

@Pisigma: oui , les formules générales pour le degré 4 sont absconses (ce n'est pas de la tarte )

[Fabju52]

Pour être complet, voici ma procédure : à partir des valeurs suivantes,
x ; y
0 ; 0,031
25 ; 0,217
50 ; 0,368
100 ; 0,607
200 ; 0,941
400 ; 1,512
je définis une courbe de régression polynomiale de degré 4 (y = ax^4+bx^3+cx^3+dx+e) dont je calcule les valeurs par Excel :
e = 3,1353*10^-2
d = 8,0987*10^-3
c = -3,0704*10^-5
b = 8,0250*10^-8
a = -7,7427*10^-11
Avec ces mêmes valeurs, je voudrais trouver x pour la valeur y = 0,758 (par ex.)
Comment puis-je faire en gardant les mêmes valeurs a,b,c,d,e et sans inverser ma courbe de régression?

[Fabju52]

Oui comme je ne suis pas un pro en math, je ne sais pas évaluer la difficulté de la chose... La première chose : est-ce possible (+/-) facilement sans des 10aines de lignes de calculs? Y a t-il un moyen plus simple ?

[mathelot]

L'équation a 4 racines complexes.
Comme a est très petit, il y a une des racines qui va être très grande (en module). En effet , en cas d'abaissement d'un degré d'une équation, il y a une racine qui se barre vers l'infini

[issoram]

Bonsoir,

J'imagine que ton polynôme de degré 4 modélise un cas concret. Seules les solution réelles t'intéressent donc?
Peux-tu préciser le contexte? S'il s'agit de trouver une seule solution dans un intervalle connu à l'avance, tu peux numériquement t'en sortir avec un logiciel....

[Fabju52]

Bonjour,
Oui, concrètement x est une concentration connue en un analyte, y est une mesure en densité optique (donc variable). J'utilise un logiciel statistique pour calculer la courbe de la régression polynomiale qui est définie comme une courbe de calibration. L'équation est utilisée pour prédire la concentration d'échantillons concentration inconnue à partir de D.O. mesurées.

Le logiciel peut les calculer sauf qu'il n'est pas pratique à utiliser et que cela s'inscrit dans une procédure plus complexe. J'ai donc dans l'idée de tout calculer dans Excel pour standardiser, limiter les erreurs de recopiage et faciliter la tâche de l'opérateur.
Alors, bien sûr, il y a une solution pour avoir les concentrations : inverser les valeurs de conc. et de DO de la régression, j'obtiens donc aussi une équation polynomiale mais inversée. Mais j'aimerais éviter pour continuer garder la même procédure que le logiciel stat, mais si c'est trop complexe, je m'en contenterai.

[mathelot]

@fabju: est ce que tu as un intervalle dans lequel se situe x? Ça permet d'initialiser la méthode de Newton de calcul de valeurs approchées d'une solution d'une équation polynomiale

[issoram]

Bonjour Fabjus,

J'ai bien compris ta problématique mais cette partie n'est pas très claire pour moi:

Alors, bien sûr, il y a une solution pour avoir les concentrations : inverser les valeurs de conc. et de DO de la régression, j'obtiens donc aussi une équation polynomiale mais inversée. Mais j'aimerais éviter pour continuer garder la même procédure que le logiciel stat, mais si c'est trop complexe, je m'en contenterai.

Peux-tu préciser?

[issoram]

Je pense avoir compris la fin de ton message finalement.

1) Dans mon exemple si dessous :

• j'évalue un polynôme de degré 4 pour certaines abscisses X. Évidemment la régression proposée par Excel pour Y en fonction de X est satisfaisante
• Ensuite, j'inverse les variables X et Y et je relance une régression (ce que j'ai compris de ta méthode). Et là pour les degrés 2, 3, 4 (ce que j'ai choisi) ou plus, la régression n'est pas pertinente.

Ceci est normal, car

• d'une part, rien ne t'assure de l'existence d'une fonction réciproque (il faut que la fonction soit bijective sur l'intervalle étudié)
• d'autre part, si elle existe, cette fonction réciproque ne sera, à priori, pas polynomiale.

Voilà ce que j'ai compris quand tu parles "d'obtenir une équation polynomiale mais inversée". Si c'est bien cela, cette méthode me semble incorrecte.

2) Tu dis vouloir garder la même procédure que le logiciel de Stat que tu utilises. Quelle est cette procédure?

[mathelot]

Méthode de Newton
Bonsoir,
soit une racine du polynôme P(x)-y et soit un intervalle I contenant .
(on a ). On cherche une valeur approchée de
On construit une suite par récurrence convergeant vers si les conditions initiales sont bonnes:
|P'(x)|>m>0 (P' minorée sur I)




d'où:


remarque: j'ai multiplier tous les termes de l'équation par

En programmation, ça donne, dans une boucle:


Il faut que x soit initialisé par une valeur pas trop éloignée de

[Fabju52]

@mathelot
x >=0 et concrètement entre 0 et 500 max
y>0 et concrètement <2,5

@issoram , oui c'est bien ça
2) ce que je voulais dire par là, c'est que je voudrais ne pas intervertir les x et y comme expliqué en 1)
Je ne sais pas comment le programme mesure les concentrations des échantillons dont j'ai la DO

1)oui c'est bien ça, voici comment je procède :
je mets en pièce jointe un printscreen d'Excel
CONC. et DO MESUREE sont mes valeurs connues et mesurées
DO EXCEL POLY4 est la prédiction de la DO calculée avec l'équation de la courbe 2
CONC EXCEL POLY4 est la prédiction de la CONC avec l'équation de la courbe 1
Dans les 2 cas, je retrouve des valeurs très proches des valeurs 'réelles'.
J'utilise donc l'équation 1 pour prédire mes CONC d'échantillons dont j'ai mesurée ma DO

[Fabju52]

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