équation exp

[ju972]

Bonjours , je suis en terminal S et on me demande
Déterminer, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de l’équation e^x = mx.

j'ai vraiment pas trouvé grand chose, j'ai fait:
e^x = mx
e^x – mx = 0

J'ai essayé de voir la fonction e^x – mx , en bougeant la valeur de m , mais je trouve tellement valeurs égales à 0 que je pense que je n'ai pas compris

Merci beaucoup pour votre aide

[Lostounet]

Salut Ju,

Tu as eu la bonne idée de faire varier la valeur de m. Par exemple, pourrais-tu essayer de répondre aux cas simples suivants:

* Si m = 0, combien de solutions ?

* Si m = 1, on a l'équation e^x - x = 0
A-t-elle des solutions? Combien?


Peu importe le choix de m, le nombre x = 0 n'est jamais solution de l'équation exp(x) = mx puisque le membre de gauche vaut 1 et le membre de droite vaut 0

Nous pouvons donc chercher à étudier de manière complète la fonction f(x) = exp(x)/x, l'allure de son graphique nous donnera des pistes.

[ju972]

salut Lostounet,
D'abord merci beaucoup pour ta réponse

* Si m = 0, on a e^x qui est une fonction qui tend vers 0 en -∞ , donc je sais pas si elle arrive à 0, de plus e^x>0, donc je ne crois pas qu'il y est de solution
* Si m = 1 , on a e^x -x qui est strictement positif donc il y a pas non plus de solution

mais j'ai remarqué que à partir de 3 il y a 2 solutions à chaque fois

"Peu importe le choix de m, le nombre x = 0 n'est jamais solution de l'équation exp(x) = mx puisque le membre de gauche vaut 1 et le membre de droite vaut 0" quand tu dis ça c'est par rapport à e^0=1 et 0*x=0 ou c'est en général ?

Pour ça "Nous pouvons donc chercher à étudier de manière complète la fonction f(x) = exp(x)/x, l'allure de son graphique nous donnera des pistes." tu pars de quoi ?

[Lostounet]

* Si m = 0, on a e^x qui est une fonction qui tend vers 0 en -∞ , donc je sais pas si elle arrive à 0, de plus e^x>0, donc je ne crois pas qu'il y est de solution

Effectivement exp(x) tend vers 0 lorsque x tend vers - l'infini mais exp n'atteint jamais 0. Exp est strictement positive, donc oui tu dis juste: pas de solution.

* Si m = 1 , on a e^x -x qui est strictement positif donc il y a pas non plus de solution

C'est vrai mais.... tu ne l'as pas prouvé. Pour le prouver tu peux poser f(x)=exp(x)-x
Alors f'(x)=exp(x)-1
f'(x) est positive lorsque exp(x)>=1 donc lorsque x>0
Donc f décroit jusqu'à 0 où elle vaut f(0)=1
En fait sa limite en -l'infini vaut ???
Et en plus l'infini?

Donc qu'en déduis-tu?

Finalement pour traiter le cas général, je te propose de poser g(x)=exp(x)/x

Si tu traces cette fonction et que tu examines les droites y=m tu pourras compter le nombre de solutions graphiquement!

En effet étudier g(x)=m c'est étudier les solutions de
Exp(x)/x=m donc de exp(x)=mx
Maintenant il ne reste plus qu'à dresser le tableau de variations complet de g

[ju972]

pour m=1 j'ai fait le tableau de variation, pour les limites j'ai trouvé en -l'infini vaut +l'infini et en +l'infini vaut +l'infini. Alors f(x) est strictement positif donc il y a pas de solution

pour le cas général :
j'ai fait le tableau de variation donc
- pour ]-∞;0[ g est décroissant ; lim en -∞=0
- pour ]0;1] g est décroissant avec g(1)
- pour [1;+∞[ g est croissant lim en +∞=+∞
mais j'arrive pas à faire les limites en 0

"tu traces cette fonction et que tu examines les droites y=m tu pourras compter le nombre de solutions graphiquement" pour faire ça j'ai pas compris ce que je dois voir

[Lostounet]

Pour les limites en 0 il suffit de voir que exp(x) tend vers 1 donc
Lorsque x tend vers exp(x)/x se comporte comme 1/x
La limite est - infini a gauche de 0 et + infini à droite

G admet-elle un minimum local?

[Lostounet]

Tu es bien d'accord que compter le nombre de points d'intersection de la courbe de G avec la droite horizontale y=m c'est exactement compter le nombre de solutions de exp(x)=mx ?

[ju972]

Tu es bien d'accord que compter le nombre de points d'intersection de la courbe de G avec la droite horizontale y=m c'est exactement compter le nombre de solutions de exp(x)=mx ?

justement je ne vois pas de point d'intersection

[ju972]

[G admet-elle un minimum local?[/quote]

qu'est ce que c'est un minimum local?

[Lostounet]

Un minimum .. tu sais bien trouver le min d'une fonction ? (Parmi les points où f'(x)=0 )

[ju972]

le minimum de g c'est -infini

[Lostounet]

Que vaut la dérivée de g?
Pour quels x s'annule-t-elle? Sur quel intervalle est-elle positive?

[ju972]

g(x) = (x ℯ^x - ℯ^x) / x^2
elle s'annule en 1 et est positif sur [1; +∞[
donc la fonction g a un point d'intersection à x=1 ?