Équation complexe de degré 4.

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Bonjour ! Petit exercice sur lequel je bloque...
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Démontrer que l'equation P(z)=0 a deux solutions imaginaires pures.

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J'ai une idée mais je ne suis pas sur que ça fonctionne : on pose l'equation.
Ensuite on passe les z^3 et les z a droite du = et on résoud la partie gauche de l'equation en posant Z=z^2. ça peut fonctionner ? Ensuite on dit que Z1 est égal a ce qu'il y a a droite du =, et on essaye de résoudre, pareil avec Z2, et peut-être que tout de simplifie ?
Ou alors sinon je pose z=x+iy ?

[miikou]

salut,

en derivant plusieurs fois il n'est pas impossible de pouvoir conclure

[dudumath]

Déja tu peux montrer que l'équation a strictement 2 solutions réelles, comme miikou te la dit tu dérives puis tableau de variations etc...

Après une solution bourrin serait de poser z1=x+iy, z2=x-iy de remplacer dans ton équation et de montrer que x=0

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Mmh je vais me passer de la solution de bourrin, puisque ma prof attend surement de nous de dériver pour trouver la solution :). Il faut bien faire comme j'ai fait, càd poser Z=z^2 ? Et qu'est ce que je dérive ? Les deux équations Z1 = (...) et Z2 = (...) ou alors autre chose ?

Vais-je enfin trouver une utilité aux dérivées ? :p

[Ericovitchi]

Une autre façon bourrin c'est de chercher une solution de la forme z=iy
Tu vas tomber sur un polynôme sur lequel tu trouveras des solutions évidentes (2 et -2). Comme ça tu montreras qu'il a bien 2 solutions imaginaires pures 2i et -2i et puis après tu pourras trouver les deux autres (qui ne sont pas imaginaires pures celles-là) en mettant (z²+4) en facteur.

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Ha oui pas bête. Mais après les z sont des complexes donc forcément de la forme x + iy non ? On peut pas poser, pour tout complexe z, z=iy ? Enfin je veux dire on a le droit de poser direct z=iy ? Car on en sait rien si la forme algébrique de z est imaginaire pure, peut-être que c'est uniquement la forme algébrique de P(z) qui est imaginaire pure.
Et sinon pour l'histoire des dérivées fait dériver quoi ?

[Ben314]

Salut,
La méthode 'pas trop bourine' (attendue par la prof) est effectivement de poser z=ix avec x réel puis de remplacer dans l'équation.
Ensuite, tu écrit que pour que la quantité dans l'équation soit nulle, il faut (et il suffit) que la partie réelle et imaginaire soient nulle.
Les parties réelles et imaginaires sont immédiates à évaluer car x est réel et tu obtient ainsi un système de deux équations assez simple (mais pas linéaire !!!)

P.S. Tu as le droit de poser z=ix car on te demende uniquement de déterminer les solutions imaginaires pures. Cette méthode n'est évidement plus bonne lorsque l'on te demande toutes les solutions.

[Ericovitchi]

En dérivant je ne vois pas. Le polynôme n'a aucune solution réelle. Si on étudie les variations on va juste trouver qu'il est décroissant, passe par un minimum puis croit à nouveau mais à priori rien sur les racines imaginaires pures.

Non la solution attendue par ton prof c'est bien celle que dit Ben.

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Ha d'accord ! Merci beaucoup :).
Et pour la méthode des dérivées ? Ça m'intéresse ^^ je veux juste savoir quoi dériver. Et du coup la methode des dérivées fonctionne aussi pour quand on cherche toutes les solutions ? (ok y'a des trucs pas très français dans ma phrase)

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Bon pas de dérivées donc.
Par contre j'ai une petite question concernant i.
Questions bêtes en fait --' quand on a (ix)^4, ça donne bien x^4 ? Et pour (ix)^3 ça donne -x^3 ?

[Ben314]

On peut effectivement dériver des fonctions de C dans C, mais ce n'est absoluement pas au programme du lycée. De plus, comme il n'y a pas de relation d'ordre dans C, on ne risque pas d'étudier le signe de la dérivée ni de parler de fonctions 'croissantes' et 'décroissante' dans C.
Comme les coefficients de ton polynôme sont réels, tu peut le voir comme une fonction de R dans R (tu ne pourrait pas le faire pour par exemple) et étudier la dérivée et les variations dans R. Tu pourra (peut-être) en déduire le nombre de solutions réelles de l'équation.

P.S. (ix)^4=i^4x^4=x^4 mais (ix)^3=i^3x^3 n'est pas égal à -x^3...

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Il me reste encore beaucoup a apprendre donc x).
C'est bon je trouve 2i et -2i. Merci beaucoup :)

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Ha bah non j'fais un truc faux dans mon calcul. Une fois que j'ai Im(P(z))= -6x^3 -24x je fais comment ?

[Ben314]

Ha bah non j'fais un truc faux dans mon calcul. Une fois que j'ai Im(P(z))= -6x^3 -24x je fais comment ?

Tout d'abord, ce n'est pas la bonne équation ( (ix)^3=i^3x^3 n'est pas égal à -x^3 ni à ix^3 mais à ...)
Ensuite, tu réfléchi un peu pour voir s'il est vraiment difficile de résoudre (dans R) l'équation -6x^3 -24x=0 (attention ensuite à ne pas oublier que tu as une deuxième équation et que tu cherche les x qui vérifient les deux équations)

P.S. a mon avis tes soluces déconnent car... ce n'est pas la bonne équation.

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Oui, (ix)^3 = -ix^3, j'ai rectifié :).
Il faut poser un système ? Mais.. Pour le résoudre ? Parce une equation de degré 3, et une de degré 4... Et aucune bicarrée... Chaud. Je vois pas trop
comment faire, dsl >.<

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Je trouve a la fin comme partie réelle et pour partie imaginaire . c'est faux ? :/

Édit : c'est ce que je trouve en résolvant P(z) en posant z=xi hein.

[Ben314]

C'est tout à fait correct.
Pour résoudre le "système", tu résoud la deuxième (elle a beau être de degrés 3, elle est quand même super façile à résoudre) puis parmi les solutions que tu trouve, tu regarde lesquelles 'marchent' aussi dans la première équation.

P.S. : ce n'est pas " tout à fait correct" : il y a un terme de trop dans la première équation...

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Ha oui en effet, j'ai fait une boulette en recopiant --'. Je cherche comment résoudre :). Merci !