Équation de cercle.

[Valentaline]

Bonjour, j'ai un exercice sur les produit scalaire et on est au début du chapitre, j'ai un peu de mal. J'ai cet exercice à faire:
Déterminer l'équation du cercle de centre A(2;-3) et de rayon 5 sachant que l'on est dans un repère orthonormé. Puis montrer que le point B(-2;0) appartient au cercle.
Ensuite il faut déterminer l'équation cartésienne de la tangente en B au cercle.

J'ai commencé et j'ai trouvé: soit m(x;y) un point de C alors AM=R donc AM²=R² donc (x-2)²+(y+3)²=5² ? Est ce que c'est ca ? Est ce que c'est assez rédiger ? Comment faire pour repondre a la question B ? merci d'avance

[Valentaline]

Pour la B j'ai finalement remplacer dans l'équation trouvée: (-2-2)²+(0+3)² et c'est égal à 25 donc à 5², B appartient au cercle ?

[WillyCagnes]

bravo! tout compris

[Valentaline]

Pour determiner l'équation de la tangente comment faire ?

[t.itou29]

Pour la B j'ai finalement remplacer dans l'équation trouvée: (-2-2)²+(0+3)² et c'est égal à 25 donc à 5², B appartient au cercle ?

C'est tout bon !
Pour la question B, un point M(x;y) appartient à la tangente à C en B si AB et BM sont perpendiculaires et il te reste à le traduire en terme de produit scalaire

[siger]

bonsoir

pour l'equation de la tangente tu peux utiliser effectivement le produit scalaire.

soit un point M( x,y) de la tangente en B, on peux ecrire
AB.MB =0 puisque la tangente est perpendiculaire au rayon
le produit scalaire est un nombre qui peut s'ecrire
x(AB)*x(MB) + y(AB)*y(MB) = 0
avec x(AB) = xB -xA
.....

[Valentaline]

J'ai un peu de mal à comprendre, il faut s'aider des formules avec les vecteurs normaux ?

[t.itou29]

J'ai un peu de mal à comprendre, il faut s'aider des formules avec les vecteurs normaux ?

Il faut partir de la définition du produit scalaire:
Soient u=(a;b) et v=(a';b') deux vecteurs alors le produit scalaire de u et v est défini par :
u.v=aa'+bb'
Et adapter avec les vecteurs que tu doix utiliser AB et BM.

[Valentaline]

Et je dois trouver un résultat nul ? Comment calculer la tangente dans ce cad, avec quelle formule?

[Thomas Joseph]

Et je dois trouver un résultat nul ? Comment calculer la tangente dans ce cad, avec quelle formule?

M(x;y) appartient à la tangente en B
équivaut à
AB.MB=0 (comme l'a précisé siger)
équivaut à
(xB-xA)(xB-x)+(yB-yA)(yB-y)=0

En remplaçant xB, xA, yB et yA par leurs valeurs respectives tu obtiens alors une équation d'inconnues x et y qui est l'équation recherchée de la tangente.

[paquito]

Le vecteur (-4; 3) est un vecteur normal à la tangente T; donc, tu dois savoir qu'une équation de cette dernière est -4x+3y+c=0; comme T passe par B, il te suffit de remplacer x et y par les coordonnées de B pour trouver la valeur de c et avoir ton résultat.

[Valentaline]

J'ai trouver que c valait -8 donc l'équation de la tangente est: -4x+3y-8=0 ?

[Thomas Joseph]

J'attire simplement ton attention sur le fait qu'en appliquant la méthode proposée par paquito tu n'utilises pas le début du cours sur le produit scalaire comme tu sembles devoir le faire d'après le début de ton premier post.

[Valentaline]

DAns mon cours sur les produits scalaire, je ne trouve pas de partie ou on explique comment faire une équation de tangente

[Valentaline]

Et je n'arrive pas a comprendre le AB.MB=0, comment on sait que les droites sont perpendiculaires

[siger]

re

c'est la propriete fondamentale des tangentes a un cercle: elle sont perpendiculaires au rayon quelque soit le point de tangence sur le cercle

[Thomas Joseph]

C'est une propriété que tu peux utiliser comme résultat de cours (programme de la classe de quatrième)

[Valentaline]

Merci, j'ai trouvé 4x-3y+8=0, est ce normal que les signes soit inversé de la réponse que j'ai trouvé avec l'autre formule ?
Et pourquoi AB.BM=x(AB)*x(MB)+y(AB)*y(MB)=0, je ne comprends pas d'ou viennent les x et y ?

[siger]

Re

Merci, j'ai trouvé 4x-3y+8=0, est ce normal que les signes soit inversé de la réponse que j'ai trouvé avec l'autre formule ?
Et pourquoi AB.BM=x(AB)*x(MB)+y(AB)*y(MB)=0, je ne comprends pas d'ou viennent les x et y ?

les coordonnees x(AB) = xB-xA et y(AB) = yB-yA sont celles du vecteur AB, ....

Dans le cas general les coordonnees x et y sont celles d'un point courant M de la droite, telles qu'elles apparaissent dans l'equation ax+by+c=0

AB.BM = (xB-xA)*(x -xB) + (yB-yA)*(y-yB) (cours: definition du produit scalaire)
avec A(2;-3) et B(-2;0) on obtient si le produit est nul
(-4)*(x+2) + (3)*(y) = -4x+3y-8 = 0

signes inversés: normal car A=0=-A et AB.BM = - AB.MB = 0 ,par exemple......

[Valentaline]

D'accord j'ai compris, merci beaucoup