Equation de cercle et produit scalaire

[firewarrior]

bonjour est ce que vous pourriez m'apporter votre aide a ce sujet

ex : A et B sont 2 points donnés. On cherche l'ensemble (E) des points M du plan tels que MA/MB=2
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parti 1
1) Montrer qu'un point M du plan appartient a (E) Si et seulement si MA²-4Mb²=0 (1)

2)Soient I le barycentre de {(A;1),(b;2)} et J le barycentre de {(A;1),(b;-2)}
a)prouver qu un ponit M du plan appartient à (E) si et seulement si MI*MJ=0 (vecteurs)
b) en deduire l'ensemble E

Parti B
ensuite le plan est rapporté a un repere orthonormal, soient les points A(-2;-2) et B(4;4)
determiner les coordonnées de I et J, ainsi qu'une equation tu cercle de diametre [IJ]

en traduisant analytiquement l'egalité 1, retrouver l'ensemble E..
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Mes résultats :

1)Si MA/MB = 2 --> MA²/MB² = 4
MA² = 4MB²
MA² - 4MB² = 0
Donc MA/MB ==> MA² - 4MB² = 0 (1)

Si MA² - 4MB² = 0
MA² - 4MB² = 0
MA² = 4MB², Si A et B sont distincts, on a forcément MB différent de 0 -->
MA²/MB² = 4
Et comme MA et MB sont positifs (puisque ce sonr des distances) -->
MA² - 4MB² = 0 ==> MA/MB = 2 (2)

(1) et (2) --> MA/MB <==> MA² - 4MB² = 0

2) je n'y arrive pas, je ne sais plus comment on utilise le barycentre et je pense qu'il faut utiliser le theoreme de la médiane mais sans succés...

Partie B :

1) pas réussi :(
2) Soit le repère orthonormé tel que :

A(-2;-2) ; B(4;4) ; M(X;Y)

MA² = (X+2)² + (Y+2)²
MB² = (X-4)² + (Y-4)²

MA/MB = 2 --> MA²/MB² = 4
MA² = 4MB²

(X+2)² + (Y+2)² = 4.[(X-4)² + (Y-4)²]
X² + 4x + 4 + Y² + 4Y + 4 = 4X² - 32X + 64 + 4Y² - 32Y + 64
3X² - 36X + 3Y² - 36Y + 120 = 0
X² - 12X + Y² - 12Y + 40 = 0
(X-6)² - 36 + (Y-6)² - 36 + 40 = 0
(X-6)² + (Y-6)² = 32
(X-6)² + (Y-6)² = (4V2)² (Avec V pour racine carrée).

C'est l'équation du cercle de centre (6;6) et de rayon = 4V2

Or AB² = 6² + 6² = 72
AB = 6V2

Donc le cercle à son centre C sur la droite (AB), en dehors du segment [AB], du coté de B avec BC = (1/3)AB.
Le rayon du cerle à la mesure de (2/3) AB.
(C'est l'ensemble E)
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Voila, pouvez vous me dire si j'ai bon la ou j'ai réussi et m'aider la ou je n'arrive pas, merci :)

[annick]

Bonsoir,
Pour la question 2, voici ma proposition :
(je parle en vecteurs, mais ne l'écris pas pour aller plus vite)

MA²-4MB²=(MA+2MB)(MA-2MB)=(MI+IA+2MI+2IB)(MJ+JA-2MJ-2JB)=

3MI+IA+2IB)(-MJ+JA-2JB)

Or d'après tes relations de barycentres:

IA+2IB=0 et JA-2JB=0 et MA²-4MB²=0

Donc (3MI)(-MJ)=0 soit MI.MJ=0

MI est donc perpendiculaire à MJ et M se trouve sur le cercle de diamètre [IJ]

[firewarrior]

Ah ui vu comme sa c'est sur que c'est plus comprehensible, merci :)

Pour la partie B, la premiere question, il faut faire pareil???

[annick]

pour trouver les coordonnées de I et J, tu repars de la formule de base des barycentres :

IA+2IB=0, donc IA+2IA+2AB=0
3IA+2AB=0, donc

AI=(2/3)AB

De même

JA-2JB=0

Donc AJ=2AB

[firewarrior]

Ah d'accord merci beaucoup :)

[firewarrior]

j'ai quelque probleme tout compte fait. A la question 2b) de la partie 1, on me demande de tracer une figure avec AB=3 cm, mais je n'arrive pas a voir comment faire (puisque I et J ne sont donné que dans la partie B)

Ensuite c'est l'équation du cercle C dans la question 1 de la partie B. Je crois que la formule a utiliser est C(a,b) (centre du cercle)

(x-a)²+(y-b)² = r² est ce sa???

ou alors il faut que j'utilise la question 1 de la partie B pour la question 2b) de la partie A ???

merci d'avance...