Encadrement d'une suite numérique

[stephanemaths]

Bonjour,

J'ai un gros problème avec l'exercice suivant : soit la suite u(n+1) = sqrt (u(n) + 12 ) (sqrt pour la fonction racine carrée) et u(0) = 3. On a pour tout n 0
Merci beaucoup si vous pouvez m'aider.

[Laurent Porre]

Bonjour,

J'ai un gros problème avec l'exercice suivant : soit la suite u(n+1) = sqrt (u(n) + 12 ) (sqrt pour la fonction racine carrée) et u(0) = 3. On a pour tout n 0<u(n)<4. Montrer que pour tout n, |u(n+1) - 4|<|u(n) - 4|/4 et que pour tout n, 0< |u(n)-4|<1/(4^n).

Merci beaucoup si vous pouvez m'aider.

écrit d'abord |u(n+1) - 4| = |sqrt(u(n)+12) - 4| = |sqrt(u(n)+12) - sqrt(16)|
puis utilise la quantité conjuguée |sqrt(u(n)+12) + sqrt(16)|
tu arrives à un truc avec u(n)-4 au numérateur (tiens ca ressemble en partie à ce que tu veux...)
sauf que tu as u(n+1)+4 au dénominateur.
mais tu sais que 0<u(n)<4 donc 0<u(n+1)<4 donc 4<u(n+1)+4<8 soit 1/(u(n+1)+4)<1/4
tu as donc ton inégalité

pour le 2 tu as |u(n+1) - 4|<|u(n) - 4|/4 < |u(n-1) - 4|/4² < |u(n-2) - 4|/4³
etc jusqu'a Uo

[stephanemaths]

Merci, j'ai tout compris !