Egalité

[Maths-ForumR]

Bonjour


Démontrer que pour tout réel t strictement positif :
ln(1+t) > t/(1+t)

Je ne vois pas comment faire
Merci d'avance

[chan79]

Salut
Tu pourrais étudier les variations de la fonction f telle que

f(x)=ln(1+x)-x/(1+x)

[paquito]

C'est une très bonne idée et une méthode à retenir; tu vas voir facilement que d(t)=ln(t+1)-t/(1+t) est strictement croissante sur ]0; +inf[ avec d(0)=0.

[Maths-ForumR]

Salut
Tu pourrais étudier les variations de la fonction f telle que

f(x)=ln(1+x)-x/(1+x)

Merci j'ai compris

[Maths-ForumR]

Pour l’étape d’après je dois etudier les variations de :
F(x)= e^(-x). ln(1+e^x)

Je trouve :
F'(x)= -e^(-x) ln(1+e^x) + [e^(-x)/1+e^(x)]

Mais je dois m'aider de l’inégalité ln(1+x)> x/1+x

Comment transformer F'(X) ?

[chan79]

la dérivée de est

Pour transformer F'(x), factorise

[Maths-ForumR]

f'(x) est de la forme ln(1+t)-t/(1+t) car comme t , exp(x) est strictement positif .
Donc [ln(1+ex)-(ex/(1+ex)] > 0
Donc -e^(-x) [(ln(1+ex)-(ex/(1+ex)] < 0 .
Est du signe de -e^(-x) < 0
Donc -e^(-x) [(ln(1+ex)-(ex/(1+ex)] < 0
f(x) est décroissante .

Cela est il correcte ?

[paquito]

Ce que tu as fait est faux et tu compliques tout!

d(t) est définie sur[0; +inf[ et on va étudier ses variations pour trouver son signe, donc on commence par le calcul de d'(t).

d'(t)=1/(1+t)-((1)(1+t)-t(1))/(1+t)²=1/(1+t)-1/(1+t)²=t/(1+t)²>o sur ]0+inf.

conclusion, d est strictement croissante sur [0; +inf[ et d(0)=0, donc pour t>0, d(t)>0 et ln(1+t)>t/(1+t).

[Black Jack]

f(t) = ln(1+t) - t/(1+t) (avec t > 0)

f'(t) = 1/(1+t) - (1+t-t)/(1+t)²
f'(t) = 1/(1+t) - 1/(1+t)²
f'(t) = (1+t-1)/(1+t)²
f'(t) = t/(1+t)² > 0 pour t > 0
---> f(t) est croissante
lim(t--> 0+) f'(t) = 0
et donc f(t) > 0 (pour t > 0)

ln(1+t) - t/(1+t) > 0
ln(1+t) > t/(1+t) (pour t > 0)
*****
F(x)= e^(-x). ln(1+e^x)

F'(x) = -e^(-x).ln(1+e^x) + 1/(1+e^x)

Une exponentielle est toujours > 0, donc pour x de R, on peut poser e^x = t avec t > 0

-e^(-x).ln(1+e^x) + 1/(1+e^x) = -(1/t).ln(1+t) + 1/(1+t) = -(1/t) * [ln(1+t) - t/(1+t)]

Or, on sait avec la partie 1 de l'exercice que [ln(1+t) - t/(1+t)] > 0 et comme -1/t < 0, on a immédiatement -(1/t) * [ln(1+t) - t/(1+t)] < 0

---> F'(x) < 0 et F(x) est décroissante sur R
*****

:zen: