Droite d'Euler (niveau seconde)

[Julien1201]

Bonjour, j'ai besoin d'un peu d'aide en géométrie je ne m'y connais pas trop

ce n'est pas un DM juste un exercice.

sujet :

Le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre et le centre de gravité d'un triangle quelconque ABC sont alignés sur une droite appelée droite d'Euler du triangle ABC

Soit ABC un triangle, dont le cercle circonscrit C a pour centre O
Les trois hauteurs (AP), (BQ) et (CR) se coupent en H orthocentre du triangle.
Le centre de gravité G du triangle est situé "aux deux tiers" de la médiane [AA']
D est le point diamétralement opposé à A sur le cercle circonscrit C

Figure :


Question:
1) Démontrer que BHCD et un parallélogramme
2) en déduire le centre de gravité du triangle AHD
3) Montrer alors l'alignement des point O,H et G

Merci de votre aide car j'ai un peu de mal :marteau:

[rene38]

Bonjour
Des pistes :
1) Si un quadrilatère a ses côtés parallèles deux à deux alors ...
Le triangle ACD ...
Les droites (CD) et (AC) ...
Les droites (BQ) et (AC) ...

[Julien1201]

Parfait, j'ai réussi la première question, j'avoue pêcher sur la deuxième.

[Julien1201]

Une question, avec 2 médianes peut on en déduire le centre de gravité ?

[edit j'ai trouvé] question 2 réussi :)

Une petite piste pour la 3)?

[rene38]

Pour la 2), tu as trouvé :
le centre de gravité du triangle AHD est le point ...

[Julien1201]

Le centre de gravité de AHD est le point G.
Avec les médianes du triangle qui sont [HO] et [AA'] et de plus on sait que G est 2/3 de [AA'] et on sait que le centre de gravité se trouve tjs aux 2/3 de la longueur de chaque médiane à partir du sommet correspondant

[rene38]

Une petite piste pour la 3) :
Dans le triangle AHD,
H est un .... et O est le milieu du ... donc [HO] est une ...
G est le centre de gravité.
Donc ...

[Julien1201]

Petite question en plus,

Soit Z le milieu de [OH] et U le milieu de [AH].
Demontrer que A'OUH est un parallélogramme de centre Z.
En deduire que le cercle de centre Z et de rayon [ZA'] passe par U et P.
On montrerait de même que ce cercle passe par :
-les milieux des trois côtés;
-les pieds des trois hauteurs;
-les milieux des segments joignant les sommets de l'orthocentre

La je suis perdu :o :)

[rene38]

Une droite des milieux dans le triangle AHD devrait t'aider.