Divizibilité dans Z et nombre premier

[ScottJohnson]

Bonjour, un des exercices de mon dm est :
"montrer que parmi 6 entiers naturels disctincts, il en existe toujours deux dont la différence est un multiple de 5"

Je ne voit absolument pas dans quelle direction aller :mur:
Un petit coup de main est demandé :)

[L.A.]

Bonjour.

C'est le principe des tiroirs : si tu dois ranger (n+1) paires de chaussettes dans n tiroirs, alors forcément l'un des tiroirs contiendra au moins deux paires de chaussettes.

[ScottJohnson]

J'ai compris cet aspect de l'exercice, mais je ne voit pas comment poser l'énoncé sous fourme d'équation

[L.A.]

Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire... ici il ne s'agit pas de poser une équation et de la résoudre, il s'agit de prouver quelque chose par un raisonnement logique.
Si c'est la rédaction qui te pose problème, explique comment tu fais et on te corrigera au besoin.

[ScottJohnson]

Pour me reformuler, je ne voit simplement pas par ou commencer

[L.A.]

Les paires de chaussettes, ce sont tes 6 nombres. Quels sont les 5 tiroirs ?

[ScottJohnson]

Les multiples possibles des 6 nombres {1;2;3;4;5} ?

[zygomatique]

Bonjour, un des exercices de mon dm est :
"montrer que parmi 6 entiers naturels disctincts, il en existe toujours deux dont la différence est un multiple de 5"

Je ne voit absolument pas dans quelle direction aller :mur:
Un petit coup de main est demandé

salut

division euclidienne par 6 ::

soit les restes sont distincts et donc 0, 1, 2, 3, 4, 5 .... et c'est fini

soit ils ne sont pas distincts .... et c'est fini ....

:zen:

[mathelot]

ce sont six restes dans la division par 5 donc dans

[ScottJohnson]

Et niveau rédaction ça se justifie comment ?

[mathelot]

principe des tiroirs (de Dirichlet)

six objets dans cinq tiroirs (les classes d'entiers modulo 5)

nécessairement, deux objets sont dans le même tiroir.

un tiroir r= tous les entiers relatifs qui ont r comme reste dans la division euclidienne par 5

[ScottJohnson]

Donc si j'ai bien compris, on a 6 nombres (Ici, on va admettre a,b,c,d,e,f)
Donc si ces nombres appartiennent a N, on aura pas exemple
a-b=5k ?

[mathelot]

Donc si j'ai bien compris, on a 6 nombres (Ici, on va admettre a,b,c,d,e,f)
Donc si ces nombres appartiennent a N, on aura pas exemple
a-b=5k ?

oui, dans la mesure où et ont le même reste dans la division euclidienne par 5.

[ScottJohnson]

Et comment rédiger tout ça ?

[mathelot]

avec un crayon et du papier.

[ScottJohnson]

Donc en gros, les reste de la division euclidienne par 5 sont 0,1,2,3,4, soit 5 possibilités et on a 6 nombres, donc forcément deux nombres seront divisibles par 5.
Cependant un doute subsiste, au niveau du
"il en existe toujours deux dont la différence est un multiple de 5"
Que cela signifie-t-il ?

[mathelot]

non, je plaisante.

admet pour partition les classes d'entiers modulo 5.


Il y a cinq classes en tout.

Comme il y a six nombres, nécessairement deux d'entre eux appartiennent à la même classe.

Pour ces deux nombres, leurs différences est multiple de 5.

(ils ne sont pas multiples de 5. Ils vérifient les deux propriétés équivalentes:

- ils ont le même reste dans la division par 5
- leur différence est multiple de 5

par exemple 1002 et 77)

[ScottJohnson]

J'ai compris,
1002 et que 77 ont un reste égal a deux quand on les divise par 5, et 1002-77 = 925

Pour essayer d'expliquer "dans mes mots"
On a 6 nombres, donc après avoir fait leur différences (plus grand moins plus petit) on a 15 résultats possibles.
Or il y a un multiple de 5 tous les 5 nombres (ça semble carrément évident)
donc obligatoirement il existe au moins deux nombres parmis les 6 dont leur différence est un multiple de 5.

ça parait assez clair ?

[mathelot]

J'ai compris,
1002 et que 77 ont un reste égal a deux quand on les divise par 5, et 1002-77 = 925

Pour essayer d'expliquer "dans mes mots"
On a 6 nombres, donc après avoir fait leur différences (plus grand moins plus petit) on a 15 résultats possibles.
Or il y a un multiple de 5 tous les 5 nombres (ça semble carrément évident)
donc obligatoirement il existe au moins deux nombres parmis les 6 dont leur différence est un multiple de 5.

ça parait assez clair ?

oui, mais ton raisonnement s'applique avec 4 nombres. Où est le bogue ?

[ScottJohnson]

Ah oui, en effet..
Je voit l'incohérence, mais en remontant le raisonnement, tout concorde, non ?