Division de polynômes avec des paramètres "a" et "b"

[Marjojo01]

Bonsoir,
Ça fait déjà un petit moment que je coince sur plusieurs questions d'un exercice en particulier... La consigne étant : "Déterminer les valeurs des paramètres pour lequelles la division est exacte. Déterminé le quotient."
Une des questions est :
(x3 + 4x2 + ax + b) : (x2 + x + 1)
Mon problème, c'est que la métode que j'applique généralement utilise les solutions de l'équation x2+x+1 pour pouvoir annuler la première équation (je sais c'est pas clair, même pour moi en lisant je ne me comprends pas) je vais vous donner un exemple : (4x4+7x3-ax2+bx+24) : (x-2)(x+4) le "x" est bien sûr une lettre non une multiplication
Et là j'applique :
P(x) est divisible par (x-2) -> P(2) =0 donc 64+56-4a+2b+24=0
On laisse ça de côté...
De même P(x) est divisible par (x+4) -> P(-4)=0 donc 1024-448-16a-4b+24=0
Et là on a deux équations à deux inconnues, on les résouts et on arrive à : a=37 b=2
Puis après on reprend notre division du début en remplaçant a et b par ces nombres-ci, et on trouve le cotient !
Bref tout ça pour dire, dans mon cas de base, comment je fait si je ne peux pas factorisé le diviseur ...? Le mettre dans un style (x-5)(x+3) ...?
Car sinon comment je pourrais trouver "a" et "b" ?
Merci de votre lecture (j'espère ne pas vous avoir embrouillé)
Et j'attend avec impatience une réponse
Merci!

[Ben314]

Salut,
A mon sens, il y a (au moins) trois méthodes :

- Si tu as vu les nombre complexes, ben tu cherche la factorisation dans C de x²+x+1 et tu procède ensuite exactement comme dans l'exemple que tu donne.

- Sinon, tu écrit la division euclidienne de par :

Comme on doit avoir , c'est que .
Comme multiplié par ne doit produire que des termes de , c'est que
Partant de ça, il n'y a plus qu'à développer et réduire le terme de droite de (*) puis à identifier les coefficients obtenus avec ceux de gauche pour en déduire la valeur de (en fonction de et évidement).
Et il n'y aura plus qu'à regarder à quelle(s) condition(s) sur et on va avoir , c'est à dire .

- Tu peut aussi faire exactement la même chose que çi dessus, mais en partant dés le départ de .
Dans ce cas là, tu va directement chercher les valeurs qu'il faut prendre pour de façon à égaliser les deux expression à droite et à gauche du = dans (*).

[Marjojo01]

Merci!