Contourner la division euclidienne des polynômes?

[Ali94]

Bonjour, est-ce qu'il y aurait un moyen plus simple que d'utiliser la division euclidienne de polynômes pour résoudre un calcul comme celui-ci :



Merci

[Ben314]

Salut,
Une méthode qui "évite" la division euclidienne peut consister à faire le changement de variable y=x-5, c'est à dire x=y+5.
En général, la plupart des gens considèrent que "simplifier par y" n'est pas vraiment une division polynômiale.
Par contre la méthode est longue : il faut développer x^3=(y+5)^3 et x²=(y+5)^2, puis simplifier le numérateur et aprés division par y, il faut refaire le changement de variable dans l'autre sens (en posant y=x-5) pour retromber sur une fonction "en x".

[Ali94]

Aïe, j'ai peur de ne pas avoir tout compris. Pourrais-tu appliquer ta méthode dans le calcul du dessus stp? Un exemple me ferait sûrement comprendre plus facilement. Merci

[Phil]

Bonjour,
J'avoue que je ne comprends pas
A ma connaissance, la division euclidienne est la [B]méthode la plus simple[/B] ???(c'est ce que j'applique toujours en tout cas...)
C'est comme une division avec des entiers....


3x^3 -17x^2+13x-17 divisé par (x-5) donne comme premier terme du quotient 3x^2 qui en soustrayant au dividende 3x^2(x-5) = 3x^3-15x^2 donne -2x^2+13x-17 etc, etc...

Pourquoi se compliquer l'existence???

Cordialement

Phil

[Hiphigenie]

Bonjour,

Le plus simple et le plus rapide est le tableau de Horner que voici.

Il s'applique pour la division par un binôme de la forme "x - a".

En moins de 10 secondes, il est terminé.

Les calculs sous le tableau montrent la démarche.



Voici, en fait ce qu'il faut écrire durant ces 10 secondes...

[Ali94]

Ah enfaite, Ben, j'ai compris ta méthode, mais elle est effectivement longue car on doit développer toutes les identités remarquables, mais en plus, pour des calculs comme celui-ci :



C'est très compliqué car pour trouvé x par rapport à y, il faut faire des fractions etc...

Phil > Oui, mais quand je vois ce genre de calculs, j'ai l'impression qu'on peut résoudre d'une autre manière que celle de la division euclidienne.

Hiphigenie > Là j'ai un calcul du type :



ce n'est donc pas de forme "x-a", à moins que l'on considère que x+1 c'est x-(-1) mais je sais pas si ça fonctionne.

[Hiphigenie]

Tu as raison.


Le "a" = -1.

Voici le tableau et n'oublie pas de mettre 0 pour le coefficient de x...


Le quotient est donc égal à : x² + x - 1 et le reste est nul.

[Ben314]

(Re)coucou,
Visiblement, j'avais mal compris la question, je pensais que le "plus simple" de la question signifiait "en utilisant des outils les plus basiques possibles".
Sinon, il n'y a pas photo, faire effectivement la "vrai" division va dix fois plus vite que la méthode que je t'ai proposé.

La méthode de Horner est trés rapide (on peut même lorsque les coeffs sont des entiers simples écrire dirrectement¨P(X)=(X-a)(...) et remplir les ... au fûr et à mesure) mais il faut faire attention à ne pas "oublier" pour autant la méthode générale de division (si tu l'as vu) car la méthode ne marche que pour les divisions par X-a.

[Phil]

Bonjour,
La méthode de Hörner minimise le nombre de calcul
Exemple en degré 3: x^3+bx^2+cx+d = x(x^2+bx+c)+d=x(x(x+b)+c)+d: c'est ce qu'on devrait tous utiliser pour calculer x = quelquechose appartenant à R ou C avec les calculatrices...

Quant aux polynômes, si mes souvenirs sont exacts (il est vrai qu'ils sont vieux...), l'ensemble des poynômes est un anneau:
On peut diviser n'mporte quel polynôme de degré n par un polynôme de degré n-x... (x<=n)
Et on peut faire la même chose avec les séries entières (en faisant attention au domaine de définition...) mais ça, c'est un autre problème...

Cordialement

Phil