La division harmonique

[Boss_maths]

Bonjour,

Je posté sur le lyçée, car c'est sur un ancien livre de seconde que j'ai trouvé ces notes.
J'ai des difficultés pour démontrer correctement la division harmonique.
Soit 2 bipoints (A,B) et (M,N) disposés sur un axe pointé avec une origine O.
On dit que (M,N) divise harmoniquement (A,B) (et réciproquement) ssi :
(réciproquement) ,
des expressions avec les mesures algébriques, ou cette une autre écriture :

C'est la relation caractéristique avec les abscisses, que l'on établie à partir des rapports.

Il existe 3 cas particuliers :
-1) Relation de Descartes, lorsque l'origine est un des 4 points, A par exemple. On a alors

A partant de la relation caractéristique c'est facile à démontrer avec/puisque a=0.
Pour la démonstration avec les mesures/rapports algébriques, merci Wikipedia.

-2) Relation de Mac-Laurin, lorsque l'origine est un point J milieu de [MN],

Au passage, je me demande si la relation avec les abcisses est juste ? Bon où j'en suis...

Je suis content parce que la point A (a) "n'existe" plus, et est l'abcisse de J, mais je n'arrive pas à conclure...

-3) La relation de Newton, lorsque l'origine est un point O milieu de [AB]: on a alors

J'ai trouvé l'expression avec les abcisses en posant dans la relation caractéristique, puisque les points A et B sont équidistant de O. Mais, je n'arrive pas à le démontrer avec les mesures/rapports algébriques !

Merci d'avance pour vos lumières,
@+ :happy2:

[el niala]

ah, les maths d'antan :zen:

tu te compliques un peu la vie il me semble

1) OK

2) la relation que tu as écrite n'apporte rien de plus, si ce n'est faire apparaître (dans le cas où A est l'origine) l'abscisse de J
si J est origine, reviens à l'équation initiale, et remarque que n=-m d'où immédiatement
2(ab+mn)=(a+b)(m+n) => 2(ab-m²)=0 qui se traduit par

3) même principe avec b=-a mn=a² qui se traduit par

tu peux passer à la puissance d'un point par rapport à un cercle :lol3:

[Boss_maths]

Merci pour la réponse. Oui, je me replonge dans ces bouquins d'une autre époque, mais que je trouve plus à mon goût.
Je reviendrai de temps à autre pour les conseils/explications, si çà coince...

@+ :lol3:

[posso49]

Je ne sais pas ce qui a fait que la division harmonique n'est plus enseignée. Je trouvais ce chapitre des maths intéressant. Mais bon... Les mystères de l'enseignement!!!