Division harmonique

[posso49]

Bonjour. Je cherche de l'aide pour cet exercice.
Soient D et E les milieux des côtés AB et AC du triangle ABC, G son centre de gravité et O le milieu de DE.
La droite CO coupe AB en I et BE en J.
Démontrer que (ADBI)=-1, (BJGE)=-1 et (OCIJ)=-1.
Merci pour votre aide.

[zygomatique]

salut

ça veut dire quoi : (ADBI) = -1 ?

[posso49]

AB/AI = -DB/DI en valeur algébrique.

[siger]

bonjour

AB/AI=-DB/DI
soit 2 DI = -AI

dans les triangles DBO et DBC on a
DI/BI = DO/BC = 1/4
d'ou
BI = BD + DI d'ou BD= 3 DI
BD = -AD= -AI + DI = 3DI
........

[zygomatique]

DB = (1/2)AB donc AB/AI = -DB/DI <=> DI = -(1/2)AI <=> 2DA + 2AI = -AI <=> 3AI = 2AD = AB <=> AI = (1/3)AB (1)

écrivons que CI = kCO = (k/2)(CE + CD) = kCA + (k/2)(AE + AD) = kCA + (k/4)(AB + AC) = (k/4)AB + (1 - k/4)AC

donc CA + AI = (k/4)AB + (1 - k/4)AC <=> AI = (k/4)AB + (2 - k/4)AC (2)

en comparant (1) et (2) on obtient

k/4 = 1/3
2 - k/4 = 0

k = 4/3
k = 8


j'ai donc évidemment fait une erreur .... mais l'idée est là : faire du calcul vectoriel dans la base

[Dasson2]

Bonjour,
La division harmonique n'est plus au programme en France depuis... longtemps !
Une piste :
montrer que (A, G, O, F)=-1 et considérer le faisceau harmonique de sommet C associé...

[posso49]

La division harmonique n'est plus au programme depuis longtemps, mais heureusement qu'il n'y a pas que les maths du programme qui présentent un intérèt.

[Dasson2]

La référence aux programmes actuels n'était qu'un constat surpris...
J'avais trouvé ces questions intéressantes quand je les enseignais dans les années 60
et les ai reprises dans ce programme interactif :
http://rdassonval.free.fr/flash/mesures.swf
(pour PC avec lecteur FLASH activé)
Des mathématiques dynamiques que ne connaissaient pas Lebossé et Hémery !

[Tiruxa47]

Bonjour,
Cet exercice est je pense, une application directe du théorème du quadrilatère complet.
Il dit que chaque diagonale (il y en a 3) est coupée par les deux autres suivant une division harmonique.
Voir la propriété 1.1 du lien ci-dessous
https://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrilat%C3%A8re_complet

Sur la figure j'ai tracé les médianes (AF) et (CD) qui bien sûr passent par G, de plus (AF) passe par O (propriété des milieux).

On s'intéresse au quadrilatère complet en gras, c'est dire de sommets A,E,C,G,D et O.
Les sommets opposés sont de même couleur et définissent les diagonales, ce sont (AD), (EG) et (OC).
La diagonale (OC) est coupée par les deux autres en I et J d'où (O,C,I,J)=-1
La diagonale (EG) est coupée par les deux autres en J et B d'où (B,J,G,E)=-1
La diagonale (AD) est coupée par les deux autres en I et B d'où (A,D,B,I)=-1

[posso49]

On peut dire que c'est une application du théorème duquadrilatère complet qui se démontre par Thalès.
C'est surtout une application de Thalès en mettant en rapport les couples de triangles semblables ADO-ABF, AOE-AFC, IDO-IBF, OEJ-BJC, OEG-BGF, ...
Cordialement.

[Dasson2]

J'ai donné dans ce fil (et d'autres) un lien vers un programme en FLASH.
Je n'attends pas de merci, faut pas exagérer...
Mais le questionneur ou un lecteur pourrait avoir la bonté de me dire si "ça marche" ?
Je cherche toujours des testeurs gratuits...

[Tiruxa47]

Bonjour,

Perso j'ai "testé" la partie division harmonique, c'est plutôt bien fait mais à mon sens il y a un défaut (énervant..) c'est pour le pas qui permet d'in(dé)crémenter l'abscisse, il est de 0.01 ce qui est très très lent.

Le mettre à 1 serait trop facile, sans doute, mais 0.1 ou 0.5 serait bien mieux à mon sens.
Pas regardé le reste mais je vais le faire...

[Dasson2]

Merci pour la réponse.
Appuyer sur la touche du clavier pour accélérer.
Je n'ai pas fait de vidéo de présentation pour ce programme ancien...

[chan79]

salut
Pour rester dans la géométrie à l'ancienne, on peut aussi penser au théorème de Ceva dans ce genre d'exo.
Dans le triangle ADC:

soit

et

D'autre part

et cela donne

ou

[Dasson2]

Bravo pour cette utilisation du théorème de Ceva !
Qui est présentable au collège, sans mesures algébriques (ces bestioles ont disparu des programmes):
http://rdassonval.free.fr/flash/ceva.swf
J'en profite pour sortir mes vieux machins pour les testeurs gratuits qui vont se précipiter