Problème (moyenne harmonique)

[brindy]

Bonjour à tous,
Mon devoir maison contient un problème dont je ne suis pas sûre d'avoir bon..
Merci de m'aider
et Bonne Année !

Enoncé

Un automobiliste effectue un aller-retour entre deux villes A et B.
On note Va sa vitesse moyenne à l'aller; Vr sa vitesse moyenne au retour et Vm sa vitesse moyenne sur le trajet aller-retour.

1) Démontrer que : 2/Vm = (1/Va) + (1/Vr)

2) En raison d'embouteillages, sa vitesse moyenne à l'aller est de 30km/h.
a)Au retour, sa vitesse moyenne est de 70 km/h.
Calculer sa vitesse moyenne sur le trajet aller-retour.
b)Calculer, si possible, la vitesse moyenne qu'il aurait dû réaliser au retour
pour que sa vitesse moyenne sur le trajet aller-retour soit de :
- 70 km/h
- 60 km/h
- 50 km/h


Ce que j'ai fais :

Pas grand chose car nous n'avons jamais traité ce genre de problème, alors j'ai beaucoup de mal :hein:
En nous expliquant le devoir maison, notre professeur a parlé de moyenne harmonique. En m'informant à ce sujet, voici ce que j'ai pu faire :

1) L'automobiliste commence par effectuer un aller à une vitesse Va puis fait un retour sur la même route à une vitesse Vr.
Soit Vm la vitesse moyenne. t est le temps total de l'aller-retour. Vm = 2/t.

En inversant, 2/Vm = t.
Mais t = t1 + t2, où t1 est le temps mis à l'aller, et t2 le temps mis au retour. On a t1 = 1/Va et t2 = 1/Vr
Et donc : 2/Vm = 1/Va + 1/Vr (Ma rédaction est correcte?)

2)a) Vm = 2/(1/Va + 1/Vr)
Vm = 2/(1/30 + 1/70) = 42

Sa vitesse moyenne sur le trajet aller-retour est de 42 km/h.

b) Pourriez vous me dire comment m'y prendre? :triste:

Est-ce juste pour l'instant?
Merci de m'aider

[benekire2]

Bonjour à tous,
Bonne Année !

Pas encore ...
Pour la 2b il s'agit de résoudre des équations :id:

[benekire2]

sinon pour la 1, soit d la distance entre A et B on a Vm=2d/t et t=t1+t2 donc
ou encore or v1=d/t1 t1=d/v1 et de même t2=d/v2 donc en remplaçant :
soit ou encore et on arrive bien à la forme demandée !!

[benekire2]

et bien sur après pour la 2b on a 2/Vm=(1/30)+(1/x) après réduction au même dénominateur : 2/Vm=(x+30)/(30x) qui se réécrit pour x non nul et Vm non nul : (60-Vm)x=30Vm

et donc tu remplace Vm a chaque fois et tu cherche x ... ( x différent de 0)

[brindy]

Merci beaucoup de m'aider !

Quand on arrive à
(60-Vm)x = 30Vm

Résolution

(60-Vm)x=30Vm
(60-70)x=30*70
-10x = 2110
x= 2110/ -10
x = -211 C'est impossible.

(60-Vm)x=30Vm
(60-60)x = 30 * 60
x = 1800

Pour une vitesse moyenne de 60 km/h , 30 km/h est la vitesse de l'aller et 1800 km/h est la vitesse du retour

(60-Vm)x=30Vm
(60 - 50)x = 30*50
10x = 1500
x = 1500/10
x= 150

Pour une vitesse moyenne de 50 km/h , 30 km/h est la vitesse de l'aller et 150km/h est la vitesse du retour.


Est-ce correcte?

[benekire2]

non ca fait -10x=2100 soit x=-210 et c'est donc impossible pour celui ci !!

[brindy]

Ah oui..


Résolution

(60-Vm)x=30Vm
(60-70)x=30*70
-10x = 2100
x= 2100/ -10
x = -210 C'est impossible.

(60-Vm)x=30Vm
(60-60)x = 30 * 60
x = 1800

Pour une vitesse moyenne de 60 km/h , 30 km/h est la vitesse de l'aller et 1800 km/h est la vitesse du retour

(60-Vm)x=30Vm
(60 - 50)x = 30*50
10x = 1500
x = 1500/10
x= 150

Pour une vitesse moyenne de 50 km/h , 30 km/h est la vitesse de l'aller et 150km/h est la vitesse du retour.


Est-ce correcte?

[benekire2]

ce resultat peut te paraitre bizarre et c'est normale, de tête on a plutôt tendance a penser qu'il suffit de faire la moyenne des deux vitesses, on se dit (v1+v2)/2=vm c'est la moyenne arithmétique, et elle est fausse en l'occurence, exemple:

aller : 100km/h retour 200km/h vitesse moyenne :
tout de suite on se dit : 100+200=300 et 300/2=150 et on dit tout de suite vitesse moyenne 150km/h !! Logique ? Et bien non.
Mettons qu'il y avait 200km entre les villes ,
distance totale = 400km et temps = 2h+1h=3h vitesse moyenne: a peu près 33km/h et on voit bien notre erreur, c'est qu'on a pas pondéré par le temps ...

La moyenne calculer au 1 s'appelle moyenne harmonique.

Maintenant sur notre exercice, pourquoi est-ce que en roulant a 30km/h sur l'allé, il ne peut pas faire les 70km/h de moyenne ?

Et bien considérons qu'il y ait 30km entre les villes ( comme par hasard ... ) et que notre ami maîtrise la téléportation et qu'il ai peu revenir instantanément, donc a une vitesse infinie et en ces cas la en un temps nul:
il aura parcouru 60km ( allé retour) en 1h ( il a pas visité sur le retour) soit une moyenne de 60km/h pour l'allé retour , ce qui explique bien qu'il faille une vitesse négative pour arriver a 70kmh de moyenne ( ce qui est impossible)

tu as donc de surcroit la réponse à la question suivante, pour 60km/h
ou tu va tomber sur 60x=60x+1800 et il n'y a pas de solution bien sur

il ne te reste plus que les 50km/h de moyenne !!

[benekire2]

(60-Vm)x=30Vm
(60-60)x = 30 * 60
x = 1800

Pour une vitesse moyenne de 60 km/h , 30 km/h est la vitesse de l'aller et 1800 km/h est la vitesse du retour

(60-Vm)x=30Vm
(60 - 50)x = 30*50
10x = 1500
x = 1500/10
x= 150

Pour une vitesse moyenne de 50 km/h , 30 km/h est la vitesse de l'aller et 150km/h est la vitesse du retour.

Est-ce correcte?

non... 60-60=0 !!!!
donc 0x=1800 c'est pas résolvable

sinon pour la dernière c'est juste, il fera des exès de vitesse ( sauf s'il se trouve en allemagne) mais il y arrivera

[brindy]

Ah!^^

Vraiment, merci beaucoup pour l'explication, j'y vois plus clair !!!

Si vous êtes toujours là et si vous avez le temps, je voudrais juste savoir quelque chose..

Dans l'équation suivante :

E(x) = 9x² +30x +25
-9x² -12x +5 = 9x² +30x +25
-9x² -9x² -12x -30x = 25 -5
-18x² -42x = 20
x (-18x -42) -20 = 0
x (-18x -62) = 0 est-ce possible de faire sa?
x = 0 ou -18x -62 = 0
x = 0 ou -18x = 62
x = 0 ou x = -62/18
x = 0 ou x = -31/9

S = { 0 ; -31/9 }

Et encore Merci Beaucoup!!

[benekire2]

Mais de rien,

effectivement je n'étais pas là une bonne partie de l'après midi, désolé,
( j'ai répondu par MP)