Division euclidienne

[lemas2]

bonjour a tous je dois demontrerque le quotient de la division de N par le produit ab peut etre obtenu en cherchant le quotient de la division de N par a puis celui de la division de N par b sachant que bien entendu N a et b non nul
je vous remercie pour le petit coup de pouce que vous pourrez m'apporter
au moins un petit indice je crois qu'il faut travailler sur les inegalite mais je ne sais pas vraiment comment m'y prendre :hum:

[Chimerade]

bonjour a tous je dois demontrerque le quotient de la division de N par le produit ab peut etre obtenu en cherchant le quotient de la division de N par a puis celui de la division de N par b sachant que bien entendu N a et b non nul
je vous remercie pour le petit coup de pouce que vous pourrez m'apporter
au moins un petit indice je crois qu'il faut travailler sur les inegalite mais je ne sais pas vraiment comment m'y prendre :hum:

Ce n'est surement pas ça !

Je suppose qu'il faut montrer que le quotient de la division de N par le produit ab peut etre obtenu en cherchant le quotient de la division de N par a puis celui de la division du premier quotient obtenu par b

Non ?

[lemas2]

Ce n'est surement pas ça !

Je suppose qu'il faut montrer que le quotient de la division de N par le produit ab peut etre obtenu en cherchant le quotient de la division de N par a puis celui de la division du premier quotient obtenu par b

Non ?

exact j'avais pas vu ca comme ca
je te remercie je vais voir si je trouve desormais

[lemas2]

tu avais bien raison mais concernant la resolution je fais
N=qa+r et 0q=q'b+r' et 0
j'obtient donc
N=(q'b+r')a+r
N=abq'+ar'+r' et 0
mais je n'est pas l'impression d'avoir prouver gd chose :help:

[Zebulon]

Bonjour,
en effet, dans les démonstrations avec les divisions euclidiennes, c'est l'inégalité stricte qui est importante et qui permet de conclure.
Tu as bien écrit au bébut mais tu as fait une petite erreur:c'est N=abq'+ar'+r.
Pour montrer que c'est bien la division euclidienne de N par ab, il suffit de montrer que .
C'est clair que c'est positif, et pour montrer que c'est strictement inférieur à ab, j'ai écrit ar'+r=ab+p et j'ai montré que . Je ne sais pas si c'est une bonne méthode mais on y arrive en écrivant p=N-ab(q'+1)=aq+r-abq'-ab et en jouant sur les inégalités des premières divisions euclidiennes établies.
Bon courage et à bientôt,
Zeb.

[Chimerade]

Bonjour,
tu as posé les divisions euclidiennes et en effet, dans les démonstrations avec les divisions euclidiennes, c'est l'inégalité stricte qui est importante et qui permet de conclure.
Tu as bien écrit au bébut mais tu as fait une petite erreur:c'est N=abq'+ar'+r.
Pour montrer que c'est bien la division euclidienne de N par ab, il suffit de montrer que .
C'est clair que c'est positif, et pour montrer que c'est strictement inférieur à ab j'ai écrit ar'+r=ab+p et j'ai montré que p<0. Je ne sais pas si c'est une bonne méthode mais on y arrive en écrivant p=N-ab(q'+1)=aq+r-abq'-ab et en jouant sur les inégalités des premières divisions euclidiennes établies.
Bon courage et à bientôt,
Zeb.

Pourquoi pas , Mais moi j'aurais agi directement :

avec
avec

j'obtiens donc



Reste à prouver comme le dit très justement Zebulon que

En arithmétique, le signe est moins puissant que

En effet, si tu dis que , tu autorise n à aller aussi près que l'on veut de m. Alors que si tu sais que n et m sont des entiers, tu peux affirmer que ce qui est bien plus fort.

En reprenant les inégalités ci-dessus, tu peux écrire :


et


et en tirer :


D'où :

...ce qui établit que q' est bien le quotient euclidien de N par (ab) !

[Zebulon]

Bonjour Chimerade, je ne sais pas si vous avez vu, mais j'ai modifié ma réponse:c'est et pas p<0 comme je l'avais écrit, et que vous avez cité.
En ce qui concerne mon "il suffit", ce n'est pas nécessaire, non? Je veux dire, quand on ne le savait pas.

[Anonyme]

Bonjour Chimerade, je ne sais pas si vous avez vu, mais j'ai modifié ma réponse:c'est et pas p<0 comme je l'avais écrit, et que vous avez cité.
En ce qui concerne mon "il suffit", ce n'est pas nécessaire, non? Je veux dire, quand on ne le savait pas.

Bonjour,
J'avoue que je n'ai pas réellement détaillé ta méthode parce que j'étais sûr que c'était bon, à vrai dire. Je voulais juste présenter une autre méthode.

En fait, c'est surtout ton dernier message que je ne comprends pas : ce n'est pas vraiment lumineux...Si tu pouvais re-formuler ce que tu veux dire...

Merci

[Zebulon]

Je voulais dire que si ar'+r avait été supérieur à ab, on n'aurait pas pu conclure mais dû chercher plus loin.

[Chimerade]

Je voulais dire que si ar'+r avait été supérieur à ab, on n'aurait pas pu conclure mais dû chercher plus loin.

Oui,...et non

Je m'explique : Si la question avait été "montrer que le quotient de N par ab est égal au quotient du (quotient de N par a) par b" alors, si on avait trouvé que (ar'+r) supérieur ou égal à (ab) on aurait pu conclure que c'est faux, que q' n'est pas le quotient de N par (ab).

Mais comme la question était "montrer que le quotient de la division de N par le produit ab peut être obtenu en cherchant le quotient de la division de N par a puis celui de la division du quotient obtenu par b (sans préjuger d'opérations éventuelles à effectuer ensuite avec les résultats des deux divisions euclidiennes)" alors, effectivement, si (ar'+r) avait été supérieur ou égal à (ab), on n'aurait pas pu conclure sans avoir poursuivi la recherche et trouvé autre chose.

Cela répond-il à ta question ?

[Zebulon]

Oui, merci, c'est exactement ce que je voulais dire (dans le deuxième cas, car je ne parlais pas du "si la question avait été..."), mais dit clairement! Et puis j'avais peur de dire une bêtise, alors j'ai transformé ça en une mi-affirmation-mi-question qui rendait la chose encore moins lumineuse.
Zeb.