Division euclidienne

[lehder]

Bonjour,

je dois déterminer les nombres entiers naturels n pour que soit divisible par 5.

Avez-vous une idée?

Et merci.

[Dinozzo13]

Salut !
Résous

[lehder]

Salut !
Résous

Mais comment faire? Dois je calculer delta?

[Ericovitchi]

tu peux toujours résoudre ça par les congruences, tu as appris ?
si n congru à zéro modulo 5 alors n² l'est aussi, -3n congru à 2 et n²-3n+6 congru à 1 modulo 5

tu recommences pour n congru à 1 puis 2, etc... jusqu'à ce que tu trouves
des n²-3n+6 congru à zéro modulo (5)

tu vas trouver que le seul qui marche est n congru à 4
donc les n de la forme n=4+5k k€ N

[Dinozzo13]

Heu, je m'avance peut-être un peu.
Si tu n'est pas en TS spé math, tu n'as d'autres choix que d'utiliser le raisonnment par récurrence.
Sinon, tu peux commencer par exemple par prouver que le problème revient à chercher n tel que ait pour reste 4 dans la division par 5, c'est-à-dire trouver tel que

Essaie donc tous les restes possibles de la division de n par 5.

[Dinozzo13]

Comme il t'a été dit, les entiers naturel de la forme sont solutions donc tu vois que tu peux en avoir une infinité, donc n'utilise surtout pas le discriminant comme tu l'as dit !

[Ben314]

...n'utilise surtout pas le discriminant comme tu l'as dit !...

Quoi que, quoi que.... (mais ce n'est pas niveau terminale...)

[Dinozzo13]

toujours dans le même sujet, si on cherche n tel que .
Je trouve :

Est-ce bon ?

[Dinozzo13]

Quoi que, quoi que.... (mais ce n'est pas niveau terminale...)

Même, je veux dire que si déjà on éprouve quelque difficulté, il ne vaut pas mieux embrouiller :++:

[lehder]

Y'a t-il une méthode pour trouver rapidement les valeurs de n??

[Ben314]

toujours dans le même sujet, si on cherche n tel que .
Je trouve :

Est-ce bon ?

Oui

Y'a t-il une méthode pour trouver rapidement les valeurs de n??

pas franchement .
Si à la place de 5 on avait un trés grand nombre, ça pourrait être utile de faire "un peu de théorie", mais ici, comme il n'y a que 5 essais à faire, ce n'est pas utile du tout...

[Ben314]

Exemple d'un autre méthode dans ton exercice :
Comme et , pour tout entier n, on a :

Or, comme 5 est premier, (n+1)² n'est divisible par 5 que quand n+1 est divisible par 5.

C'est plus rapide, SAUF QUE, comment j'ai fait pour trouver la factorisation n²-3n+6=(n+1)² modulo 5 ?
Eh bien je me suis servi du fait que la seule solution modulo 5 est 4=-1 que l'on obtient en faisant des essais !!!

[Dinozzo13]

Si l'on avait admettons ?

[Ben314]

Comme 24=8*3 et que 8 et 3 sont premiers entre eux, la première chose à faire est de dire que si et seulement si et .
Et c'est fini vu que la deuxième n'a pas de solutions.

[Dinozzo13]

comment tu le sais ?

[Ben314]

Non, j'ai dit une connerie (je suis assez nul en calcul), en fait la deuxième équation est toujours vraie car et ...
donc en fait il suffit de résoudre la première et là, je pense que le plus rapide est de faire 8 "essais".

[Dinozzo13]

Par contre, j'ai un autre problème en rapport avec les congruences.
Je sais démontrer des choses du genre : est divisible par 11. mais lorsqu'on a des exposant ou il y a "-" comme dans :
montrer que est divisible par 17, comment faire ???