Divisibilité en spé maths

[Anonyme]

bonsoir alors tt d'abord merci parce que g déjà envoyé des ptts problèmes et on m'a tjs rép sans me donner une solution tte faite ms en m'expliquant. et ce soir encore j'aurai besoin de qq conseils:
je dois démontrer que si a²+b² est divisible par 7, a est divisible par 7 et b est divisible par 7.
g posé a=7q+r et b=7q'+r' et j'en ai déduit que a²=7q"+r" et b²=7q'''+r'''
g compris qu'il fallait que je prouve que les deux restes r" et r''' devaient être nuls pour le prouver je dois examiner ttes les valeurs possibles qu'ils peuvent prendre.
1) les restes possibles de la division de a² par 7:
logiquement puisque je divise par 7 je pourrai avoir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
mais après qq vérif ya que 4 valeurs possibles car a et b sont entiers relatifs: 0, 1, 2, 4

2)avec ces quatres valeurs je dois étudier le reste de la somme a²+b².
la dernière question je sais comment la faire mais je ne sais pas comment prouver qu'il n'y a que 4 restes possibles et pas les 7 hypothétiques

merci beaucoup par avance si vous arrivez à m'éclairer sur les problèmes de ces restes!!

[LN1]

Bonsoir,

il te suffit d'étudier les 7 cas
si "a" a pour reste 0, alors a² a pour reste 0
si "a" a pour reste 1, alors a² a pour reste 1 car a = 7k + 1 et a² = 49k² + 14k + 1
si "a" a pour reste 2, alors a² a pour reste 4 car a = 7k + 2 et a² = 49k² + 28k + 4
si "a" a pour reste 3, alors a² a pour reste 2 car a = 7k + 3 et a² = 49k² + 42k + 9 = 49k² + 42k + 7 + 2
...

remarque: si tu connais les congruences, tu n'as pas besoin de justifier par un développement

Bon courage