Divisibilité TS spe maths

[ferdo]

Bonjour,

L'exercice qui me pose problème est le suivant :

Soit n=2^a * 3^b où a et b sont des naturels
a) Déterminer le nb de diviseurs dans N de n.
b) Déterminer n sachant que 12n a deux fois plus de diviseurs qie n.

Pour la a), j'ai trouvé que le nb de diviseurs était 2*(a+1)(b+1)
par contre pour le b) je ne vois pas la manière dont il faut s'y prendre.
Merci pour votre aide

[Alpha]

Pour le a), ne serait-ce pas plutôt (a+1)(b+1)? d'où sort le facteur 2?

Par exemple n=6=2*3 a 4=(1+1)(1+1) diviseurs en appliquant cette formule.

[ferdo]

oui, oui, pardon c'est une erreur.. le 2 n'a pas à y être.
Quant à la question b) je cherche toujours mais cela n'aboutit pas.

[tize]

Bonjour,
d'accord avec alpha.
Pour le b, si n=2^a*3^b alors .......

[ferdo]

J'ai pensé à écrire 12n= 2^a+2 * 3^b+1 mais cela donne que 12n a (a
+3)(b+2) diviseurs. on aurait donc 2(a+1)(b+1)= (a+3)(b+2) ?

[Alpha]

Bon, voilà comment je procéderais pour le b).

Il faut que 12 et n aient des diviseurs en commun, par exemple, que 2 et 3 soient des diviseurs de n, comme ça, quand on va compter les diviseurs de 12n, on va tomber une fois sur 2*3 en prenant le 2 dans le 12 et le 3 dans le n, et une fois en prenant le 3 dans le 12 et le 2 dans le n, ce qui au final ne doit compter que pour 1.

Ca, c'est pour se donner une idée, mais maintenant posons les choses plus clairement : on va chercher n sous la forme 2^a*3^b.

On a alors 12n = 2²*3*2^a*2^b= 2^(2+a) * 3^(b+1).
Alors le nombre de diviseurs de 12n est (2+a+1)(b+2) = (3+a)(b+2)
or ce nombre doit être égal à 2 fois le nombre de diviseurs de n, ce qui donne
(3+a)(b+2) = 2*(a+1)(b+1)

Ca marche par exemple avec b=1 et a=8. (J'ai essayé avec b=1 et ça donne a=8)

Cordialement

[Alpha]

Sinon tu peux aussi dire que b+1 et b+2 son premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, b+1 divise 3+a, et trouver b grâce à ça.

[ferdo]

Merci beaucoup,
bonne fin d'après midi