Distance d'un point à une droite

[mlbpf]

Dernier exercice de mon DNS
On considère la droite d passant par le point A(2,1,-3) dirigée par le vecteur u(0,-1,1) et le point B(5,0,2).
1) Démontrez que le point B n'appartient pas à d.
2) M est un point de d et k le réel tel que AM = ku
Exprimez les coordonnées (x,y,z) du point M en fonction de k.
3) Calculez la distance BM² en fonction du réel k.
4) Déterminez le réel k pour lequel le réel BM est minimal.

Je ne vois pas du tout comment je peux répondre à ces questions. Quelqu'un pourrait-il me mettre sur la piste et m'expliquer comment je dois faire.

Merci beaucoup

Mlbpf

[valentin.b]

Bonsoir,
tout les poitns de la droite passant pas A et de vecteur unitaire u sont des translaté de A par un multiple de u :
Si M représente un point de la droite :
OM = OA + t.u (c'est une égalitée vectorielle il manque les flèches..)
Car, d'après la suite de ton exercice :
AM = ku (k équivaut à mon t)
AO + OM = ku
<=> OM - OA = ku
<=> OM = OA + ku
Donc tu peut paramétrer ta droite et montrer qu'il n'existe aucun t tel que B soit sur la droite.

Ensuite pour la distance, on pose la paramétrage (ça ce dit ??) d'une droite :
x',y' et z'
Et une point P de coordonnées a,b et c
Le vecteur d'un point de la droite à P a pour coordonnée :
x'-x
y'-y
z'-z
La norme D du vecteur nous donne l'égalité :
D² = (x'-x)² + (y'-y)² + (z'-z)²
Ce qui, dans ton cas, te donne un polynôme du second degré dont tu établit le minimum (le fait que D soit au carré ne change rien puis que D est une distance forcement positive)