La différence est richesse...

[Rebelle_]

... Comme les congruences sont justesse.

Bonjour =)

J'ai quelques petits exercices à vous montrer. Je ne suis pas tout à fait sûre de la justesse des congruences que j'ai pu écrire mais il serait dommage de faire mentir les petits maux exprimés ci-dessus n'est-ce pas

NB : dans les trois exercices, je noterai a = b (n) pour "a est congru à b modulo n".

Premier exercice.

1. On pose un x dans Z. Dans un premier temps, on demande de montrer que 3x = 8 (10) x = 6 (10).

--> On sait que x = 6 (10) et que 3 = 3 (10), on en déduit que 3x = 18 (10) soit que 3x = 8 (10). [Je pense n'avoir montré que l'implication mais je ne vois pas comment montrer l'équivalence :/].

Dans un second temps, il faut montrer que x² = 6 (10) x = 4 (10) ou x = 6 (10).

--> Si x = 4 (10) alors x² = 16 (10) soit x² = 6 (10). De même, si x = 6 (10) alors x² = 36 (10) et x² = 6 (10). [Je rencontre le même problème ici].

2. Dans cette question on pose un n dans N. On se propose de montrer que n² + (n+1)² + (n+2)² = 0 (10) (n+1)² = 6 (10).

--> Si (n+1)² = 6 (10), alors d'après 1. on a (n+1) = 4 (10) alors n = 3 (10) soit (n+2) = 5 (10). Donc n² + (n+1)² + (n+2)² = 40 (10) soit n² + (n+1)² + (n+2)² = 0 (10).
De même, si (n+1)² = 6 (10) alors on a (n+1) = 6 (10) et n = 5 (10) et (n+2) = 7 (10).
Donc n² + (n+1)² + (n+2)² = 110 (10) soit n² + (n+1)² + (n+2)² = 0 (10).

3. Dans cette dernière question on doit trouver tous les entiers naturels multiples de 10 qui sont de la forme n² + (n+1)² + (n+2)².

--> J'ai posé M = n² + (n+1)² + (n+2)² = 3*(n+1)² + 2. Pour que M soit un multiple de 10, c'est-à-dire de la forme M = 10k avec k dans N, on doit avoir (n+1)² = 6 (10). Or, on sait que x² = 6 (10) x = 4 (10) ou x = 6 (10). On doit donc avoir (n+1) = 4 (10) ou (n+1) = 6 (10) c'est-à-dire (n+1) = 4 + 10k ou (n+1) = 6 + 10k (ici ce sont des égalités).
On en déduit que M est de la forme 3*(6+10k)² + 2 ou 3*(4+10k) + 2.

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Voilà pour le premier exercice. Il en reste deux petits : fais-je un autre sujet ou puis-je les mettre directement ci-après ?

Merci à tout le monde, je vous souhaite une très belle journée

Ju'

[Nightmare]

Hello !

1.a) 3x=8 => x=6

En fait, la méthode est la même que dans R, si 3x=8 (mod 10) alors x=8*1/3 . Il reste à donner un sens à 1/3 modulo 10 et à le calculer. Je te laisse essayer d'y réfléchir.

1.b) Pour le sens indirect, on peut toujours calculer x² pour x différent de 4 et 6 et montrer que ça ne fera jamais 6 !

Le reste me va à lecture rapide.

[Rebelle_]

Merci de ta réponse :)

Je pensais que les règles de calcul étaient valables pour les entiers relatifs seuls ? On a le droit de multiplier par un réel ?
Quant à donner un sens à 1/3 modulo 10 je ne vois pas tellement, la division euclidienne de 1/3 par 10 ne me donne rien :/

[Nightmare]

1/3 modulo 10, c'est un "entier" (plutôt une classe). C'est simplement la classe qui vérifie . Donc en fait, puisque

Du coup,

:happy3:

[Rebelle_]

D'accord, je crois que j'ai compris. Je t'avoue que je n'aurais jamais trouvé ça toute seule !

[Le Chaton]

HAN Rebelle_ elle attend les réponse toute faite :o elle cherche ( et trouve ) même pas :ptdr: :ptdr:

J'ai jamais fait les congruences ou bien je dormais en cours ... XD
On peut vraiment écrire que 7*3=21=1 ?

[Rebelle_]

Han ! C'faux ! Tu veux que je te scanne mon cahier de brouillon ? =P
On peut l'écrire quand c'est modulo 10 et que les "=" sont des congrus ^^'

Comment as-tu fait pour dormir pendant les congruences ?! Elles nous prennent tellement de temps que ça ferait toute une palanquée de siestes xD

[Nightmare]

Pourquoi pas Le Chaton?

[Le Chaton]

Intéressant comme question ^^ Nightmare
ça m'arrangerait ... surtout ça m'intéresserait de pouvoir l'expliquer à tous les gens à qui je dois de l'argent ...

J'ai fait spé physique :p et donc je n'ai jamais vu les congruences pourtant ça me semble intéressant :)
je vais y jeter un tit coup d'œil :)

[Nightmare]

En fait on peut écrire à peu prêt tout et n'importe quoi en maths, pourvu qu'on lui donne un sens. Et si la notation est déjà utilisée pour autre chose, si on veut l'utiliser, il faut que l'utilisation soit cohérente.

Si je me permets d'écrire 21 = 1, sachant qu'implicitement on parle de restes dans la division par 10 et non de nombres c'est qu'il y a effectivement cohérence entre la notion de nombres égaux et de classes de reste égaux.

Quand j'écris que 21 = 1, formellement je ne travaille pas avec les nombres 21 et 1, mais avec leur classe modulo 10, et quand j'écris 21 = 1 il faut lire implicitement "la classe de 21 est égale à la classe de 1" ce qui est vrai, puisqu'ils ont le même reste modulo 10 (j'appelle classe d'un nombre k modulo 10 l'ensemble de tous les nombres qui ont le même reste que k dans la division par 10). Plus rigoureusement, on devrait écrire où désigne la classe de k (qui est donc, je le précise une nouvelle fois, un ensemble et non un nombre !)

[Rebelle_]

Re :)

Tu viens de lever le mystère qu'était la barre au-dessus des nombres ! Je pensais que c'était la moyenne :/
Merci pour toutes ces explications =)

[Le Chaton]

Re

Tu viens de lever le mystère qu'était la barre au-dessus des nombres ! Je pensais que c'était la moyenne :/
Merci pour toutes ces explications =)

Ah bah je vois que je suis pas le seul à dormir en cours :p
Et merci Nightmare pour ces explications bien évidemment :marteau:
Je vais trouver des cours et les lire en détail ( même si je sais que je m'en servirais pas spécialement c'est toujours bon de savoir )
Et bonne chance pour la continuation d'exercice Rebelle_ :p je serais d'aucune aide pour celui al :p

[Rebelle_]

Je ne dors pas en cours ! :O En plus cette notation est vue en Seconde et je m'en rappelle encore alors... ^^' Je vais recopier ici les deux autres exercices que j'ai à faire. :)

[Rebelle_]

Deuxième exercice.

[Je conserve les notations usuelles de l'exercice 1].

Dans cet exercice, on considère deux nombres a et b entiers relatifs non nuls tels que a = b (6). On se propose d'étudier la véracité des affirmations suivantes.

i) La parité de a et b est la même.

--> On pose a = 6k + r et b = 6k' + r, avec (k, k') dans Z². La parité de a et b dépend de celle de r puisque 6k et 6k' sont toujours pairs. Si r est pair alors il en va de même pour 6k + r et 6k' + r. Si r est impair, on a 6k pair et r impair donc 6k + r impair (respectivement 6k' + r). L'affirmation est juste.

ii) On a a = b (3).

--> En utilisant les mêmes notations, on a a - b = 6k + r - (6k' + r) = 3*(2k-2k'). Or, (2k-2k') appartient à Z, donc a - b est un multiple de 3 et donc a = b (3). L'affirmation est juste.

iii) Le fait que a et b soient pairs impliquent qu'ils soient congrus modulo 12.

--> Soient a = 10 = 6*1 + 4 et b = 14 = 6*2 + 2, a et b sont pairs mais a - b = -4 donc ils ne sont pas congrus modulo 12. L'affirmation est fausse.

iv) On a 2a = 2b (12).

--> On exprime 2a et 2b tels que 2a = 2*(6k + r) et 2b = 2*(6k' + r), donc 2a - 2b = 12*(k-k') or (k-k') est un entier relatif et 2a - 2b est un multiple de 12 donc 2a = 2b (12). L'affirmation est juste.

v) a et b divisibles par 3 implique que (a/3) = (b/3) (6).

--> Posons a = 18 = 3*6 et b = 3*8. On a a et b divisibles par 3, et a/3 = 6 ; b/3 = 8. Or, 6 = 6*1 + 0 et 8 = 6*1 + 2 : leurs restes dans la division euclidienne par 6 ne sont pas égaux, donc (a/3) n'est pas congru à (b/3) modulo 6. L'affirmation est fausse.

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Troisième exercice.

Un entier relatif a pour carré un mutliple de 25, un multiple de 5 augmenté de 1, ou un multiple de 5 diminué de 1. Vrai ou faux ?

--> Premier cas : a est un multiple de 5 donc a = 5k, on a a² = 25k² qui est bien multiple de 25.
Dans les autres cas on a :
a = 5k + 1
a = 5k + 2
a = 5k + 3
a = 5k + 4.
Cela donne le tableau de congruences suivant :
a = 1 (5) alors a² = 1 (5)
a = 2 (5) alors a² = -1 (5)
a = 3 (5) alors a² = -1 (5)
a = 4 (5) alors a² = 1 (5).
On en déduit que le reste de la division euclidienne par 5 du carré d'un entier relatif est soit 1, soit -1. L'affirmation est vraie.

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Voilà =P

[benekire2]

Petite remarque :

En seconde quand on note c'est qu'on parle effectivement de moyenne géométrique puisque on le rencontre dans le cadre des statistiques. Ici c'est totalement différent. Cela dit cette même barre on l'utilise pour beaucoup de choses : Adhérence, conjugué d'un complexe, moyenne, classes ...

Sinon sur le scandale 21=1 pour moi a partir du moment où l'on a dit que l'on travaillait dans [l'anneau des congruences modulo 10] ça ne me choque pas puisque effectivement 21 et 1 on même classe mod10 ...

Si Rebelle désire plus d'info sur Z/nZ et le concept de classe d'équivalence , je l'oriente volontier vers une magnifique Khôlle de Nightmare , qui m'avait évidemment posé beaucoup de prblèmes, mais qui est très enrichissante.


Pour ton exo2.

i) en effet a-b=0 dans Z/6Z donc 6|(a-b) i.e forcément 2|(a-b) cela implique que a et b on meme parité ..

ii) En effet tu as encore raison a-b=0 mod 6 donc 6|(a-b) et a fortiori 2|(a-b)

iii) tu as encore raison , le contre exemple suffit ...

iv) Tu as encore encore raison mais je ferais : a=b (6) il existe k€Z , a=b+6k il existe k€Z 2a=2b+12k 2a=2b (12)

EDIT . Oui je change souvent de notations lol et c'est très vilain :marteau:

EDIT2. Pour le 3 ça me va.

[Rebelle_]

Merci merci pour toutes les infos !
En ce qui concerne la quatrième question de l'exercice 2 en effet ça va plus vite, je vais voir si je ne vais pas changer :P

[benekire2]

Fais comme tu veut , de toute façon, tant que ça marche ,c'est bon :lol3:

[Rebelle_]

NB : dans les trois exercices, je noterai a = b (n) pour "a est congru à b modulo n".

Premier exercice.

1. On pose un x dans Z. Dans un premier temps, on demande de montrer que 3x = 8 (10) x = 6 (10).

--> On sait que x = 6 (10) et que 3 = 3 (10), on en déduit que 3x = 18 (10) soit que 3x = 8 (10). [Je pense n'avoir montré que l'implication mais je ne vois pas comment montrer l'équivalence :/].

Hello =)

J'en reviens à cette question ; *quelqu'un* m'a soufflé une petite idée hier soir, j'aimerais savoir si je l'ai correctement utilisée

Soit k dans Z, on a x = 6 (10) x = 6 + 10k 3x = 18 + 3*10k 3x = 8 + 10*(3k+1), or, (3k+1) est un entier relatif, donc 3x = 8 + 10*(3k+1) 3x = 8 (10).
Parce que le raisonnement est fait d'équivalences, on a bien 3x = 8 (10) => x = 6 (10).

Je sais bien qu'il faut faire très attention aux équivalences, c'est pour cela que je ne suis pas sûre que ça soit bon :/

[Nightmare]

Salut !

Il y a juste un truc qui me chiffone, c'est le dernier <=

Ce dernier dit : "Si 3x = 8 mod 10 alors il existe un entier k tel que 3x=8 + 10*(3k+1)". Pourquoi est-ce vrai?

Si je prends X=28=8 mod 10, alors X=8+10 * 2 et 2 n'est pas de la forme 3k+1 !

[Rebelle_]

Re :)

Je voulais dire qu'il existe une certaine quantité - ici 3k+1 - telle qu'on ait 3x = 8 (10).
Avec ton exemple on a bien X = 28 = 8 + 2*10 donc X = 8 (10), non ?