Devoir maison sur les suites.....

par **nico033** » 21 Jan 2007, 14:22

Bonjour
jai un exercice sur les suites a faire pour la semaine prochaine, pourriez vous me donner une aide afin que je puisse y arriver , merci

voici le sujet complet:

au 1er janvier 2007, une entreprise compte 1500 employes . Une etude montre que, pour toutes les années à venir 20% de l'effectif au 1er janvier partiront a la retraite dans l'année et pour ajuster ses effectifs l'entreprise embauche 200 jeunes dans l'années.

On note pour tout entier naturel n, un le nombre d'employés au premier janvier 2007+n.

Calculer u1, u2 et u3.
La suite un est elle arithmétique? géométrique? justifier.
Etablir la relation de récurrence entre un+1 et un pour tout entier naturel un.

Pour tout entier naturel n, on pose vn = un-1000.
La suite vn est une suite géométrique, pourquoi? Préciser sa raison.
Exprimer vn en fonction de n puis en déduire que pour tout entier n on a:
un=500*0,8^n+1000.
Déterminer la limite de la suite un.

Démontrer que un+1 - un = -100*0,8^n.
En déduire le sens de variation de la suite un.

Détemriner l'année à partir de laquelle le nombre d'employés sera inferieur a 1150, si le contexte reste le meme.

par **armor92** » 21 Jan 2007, 14:52

Bonjour nico,

Au 1er janvier 2008, 1500 * 20 /100 des effectifs partent à la retraite, 200 jeunes sont embauchés.
u1 = 1500 - 1500 * 20/100 + 200 = 1400

Au 1er janvier 2009, 1400 * 20 /100 des effectifs partent à la retraite, 200 jeunes sont embauchés.
u2 = 1400 - 1400 * 20/100 + 200 = 1320

Au 1er janvier 2010, 1320 * 20 /100 des effectifs partent à la retraite, 200 jeunes sont embauchés.
u3 = 1320 - 1320 * 20/100 + 200 = 1256

La suite n'est pas arithmétique car u3 - u2 != u2 - u1
elle n'est pas géométrique non plus car u3/u2 != u2/u1.

par **armor92** » 21 Jan 2007, 15:04

Relation de récurrence :
un+1 = un - un * 20 / 100 + 200

un+1 = un * 0.8 + 200

Pour démontrer que vn est géométrique, on montre que vn+1 = q * vn
vn+1 = un+1 - 1000 = un * 0.8 + 200 - 1000 = un * 0.8 - 800 = (un - 1000) * 0.8 = vn * 0.8

Donc vn est une suite géométrique de raison 0.8.
On sait qu'elle peut s'écrire : vn = 0.8^n * v0
v0 = u0 - 1000 = 500
D'ou vn = 0.8^n * 500

On en déduit l'expression de un :
un = vn +1000 = 0.8^n * 500 + 1000

Quand n tend vers l'infini, 0.8^n tend vers 0, donc un tend vers 1000

par **armor92** » 21 Jan 2007, 15:21

un+1 - un = 0.8^(n+1) * 500 + 1000 - (0.8^n * 500 + 1000)
= 500 * ( 0.8^(n+1) - 0.8^n) = 500 * 0.8^n * (0.8 - 1) = - 100 * 0.8^n

un+1 - un < 0, donc la suite un est décroissante.

On cherche le premier n tel que un < 1150
500 * 0.8^n + 1000 < 1150
0.8^n < 0.3
n * ln(0.8) < ln(0.3)
n > ln(0.3) / ln(0.8)
n >= 6
C'est au 1er janvier 2013 que l'effectif passera au dessous de 1150

par **nico033** » 21 Jan 2007, 18:24

je vais regarder ce que vous mavais fais et si je ne comprend pas je viendrai vous poser des questions merci davoir pris le temps de me repondre :)

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