DevOir Maison De géométrie 2ND

[Marinette93]

bOnjour ! Pour les vacances j'avais un devoir maison mais voila j'ai un problème je ne comprend rien :mur:
Alors si vous pouviez m'aider se serait trés gentill ! Merci d'avance !
Voici l'énoncé :

Exercice 1 :
ABC Est un triangle isocèle en A.
On note A' le Milieu De [BC].
La perpendiculaire à (AC) passant par A' coupe [AC] en J.
K Est le milieu de [A'J] et L Celui De [CJ].

1/ Quelle conjecture pouvez-vous tirer sur les droites (BJ) et (AK) ?
2/ Montrez que K Est l'orthocentre du triangle AA'L.
3/ Démontrez que votre conjecture est vraie.


Exercice 2 :

On considère deux points I Et J sur un demi-cercle de diamètre [AB]. Les droites (AJ) et ( BI) se coupent en K et les droites (AI) et (BJ) se coupent en L.

Montrez que les droites (KL) et (AB) sont perpendiculaires.

Merci de répondre le plus vite possible ! C'est URGENT !
Merci

[armor92]

Bonjour marinette93,

Exercice 1 :
1) On peut poser comme conjecture : les droites (BJ) et (AK) sont orthogonales.
C'est ce qu'on va démontrer dans le 3)

2) Pour démontrer que K est l'orthocentre du triangle (AA'L), on démontre que K est le point d'intersection de deux de ces hauteurs.
K est sur la droite A'J, hors la droite (AL) (= droite(AC)) est orthogonale à la droite A'J.
A'J est donc une hauteur du triangle AA'L.
K est le milieu du segment A'J et L est le milieu du segment JC.
On peut appliquer le théorème de THALES sur le triangle AJC.
On a donc droite (KL) est parallele à droite (A'C).
(ABC) étant un triangle isocèle, (AA') est une hauteur du triangle (ABC) et (AA') orthogonale à (A'C).
La droite (KL) est donc orthogonale à (A'A).
On en déduit que la droite (KL) est une hauteur du triangle (AA'L).

On a démontré que K est le point de concours de deux hauteurs du triangle (AA'L).
K est donc l'orthocentre du triangle (AA'L)

3) A' est le milieu du segment BC et L milieu du segment JC.
On peut appliquer le théorème de THALES sur le triangle BJC et déduire que la droite (BJ) est parallèle à (A'L).
(AK) étant une hauteur du triangle (AA'L) (démontré dans le 2)), la droite (AK) est orthogonale à (A'L).
Des deux points précédents on déduit que (BJ) est orthogonale à (AK).

Exercice 2:
On peut démontrer que K est l'orthocentre du triangle (ABL).
I étant situé sur le demi-cercle de diamètre (AB), on en deduit que (AI) est orthogonal à (IB).
Le segment (IB) est donc une hauteur du triangle (ABL).
De même, J étant situé sur le demi-cercle de diamètre (AB), on en deduit que (AJ) est orthogonal à (JB).
Le segment (AJ) est donc une hauteur du triangle (ABL).
Le point K intersection des deux hauteurs du triangle est donc l'orthocentre du triangle (ABL).
La droite (LK) est la troisième hauteur du triangle, on en déduit que la droite(LK) est orthogonale à la base du triangle : (AB).