Déterminants

[Anonyme]

Bonjour,

Peut-on parler du déterminant d'une application linéaire de E dans F avec
dim E = dim F ??
Si non, pourquoi ??
Si oui, pourquoi n'en parle-t-on jamais dans les livres ? (je vois toujours
déterminant d'un système de vecteurs puis d'un endomorphisme puis d'une
matrice)
Merci de vos réponses.

[Anonyme]

> Peut-on parler du déterminant d'une application linéaire de E dans F avec
> dim E = dim F ??
> Si non, pourquoi ??
> Si oui, pourquoi n'en parle-t-on jamais dans les livres ? (je vois
toujours
> déterminant d'un système de vecteurs puis d'un endomorphisme puis d'une
> matrice)

Une application linéaire de E vers F (avec dim(E)=dim(F)) c'est pareil qu'un
endomorphisme de E puisque E est isomorphe à F ...

[Anonyme]

On Sun, 12 Sep 2004 21:26:35 +0200, Julien Santini wrote:[color=green]
>> Peut-on parler du déterminant d'une application linéaire de E dans F avec
>> dim E = dim F ??
>> Si non, pourquoi ??
>> Si oui, pourquoi n'en parle-t-on jamais dans les livres ? (je vois
>toujours
>> déterminant d'un système de vecteurs puis d'un endomorphisme puis d'une
>> matrice)
>
>Une application linéaire de E vers F (avec dim(E)=dim(F)) c'est pareil qu'un
>endomorphisme de E puisque E est isomorphe à F ...[/color]

Argh ! Non, parce que le problème des bases se pose alors avec acuité.
Le déterminant est invariant pour les classes de similitude, mais
certainement pas pour les classes d'équivalence de matrices...


Le problème, c'est que l'isomorphisme entre E et E est canonique, mais
que si E et F sont de mêmes dimensions, il n'y a pas de raisons de
supposer qu'il y ait un isomorphisme plus canonique qu'un autre entre
les deux.

--
Frédéric

[Anonyme]

> Le problème, c'est que l'isomorphisme entre E et E est canonique, mais
> que si E et F sont de mêmes dimensions, il n'y a pas de raisons de
> supposer qu'il y ait un isomorphisme plus canonique qu'un autre entre
> les deux.

Vue la question j'ai supposé que le concerné était au plus en sup-spé, où
l'on considère presque tjrs des applications d'un R-ev vers un R-ev ...

[Anonyme]

On Sun, 12 Sep 2004 21:43:28 +0200, Julien Santini wrote:[color=green]
>> Le problème, c'est que l'isomorphisme entre E et E est canonique, mais
>> que si E et F sont de mêmes dimensions, il n'y a pas de raisons de
>> supposer qu'il y ait un isomorphisme plus canonique qu'un autre entre
>> les deux.
>
>Vue la question j'ai supposé que le concerné était au plus en sup-spé, où
>l'on considère presque tjrs des applications d'un R-ev vers un R-ev ...[/color]

Et alors ? Je voulais dire, soit E le R-espace vectoriel de dimension
3, hyperplan de R^4 des vecteurs orthogonaux à (1, 1, 0, 0) et F le
R-espace vectoriel de dimension 3 des polynômes de R de degré au plus 2.

Quel isomorphisme canonique proposes-tu entre E et F ?

[Anonyme]

hopper a écrit :
> Peut-on parler du déterminant d'une application linéaire de E dans F avec
> dim E = dim F ??
> Si non, pourquoi ??

Une piste: tu peux toujours changer de base pour que la matrice ait une
forme sympathique de déterminant 1 (si le rang est maximal) ou de
déterminant 0 (si le rang n'est pas maximal). Donc ton déterminant ne
sert à rien : il n'est pas invariant par changement de base, or un
espace vectoriel est indépendant de la base qu'on peut y choisir.

--
Nico.