[1èreS] Des ensembles de points dans un repère

[Anonyme]

Bonsoir,

je coince un peu sur un exercice dont l'énoncé est le suivant :

"Dans un repère orthonormal (O ; i, j),
on donne les points A(3 ; 0) et B (0 ; 3).
1) Trouvez une équation de l'ensemble E1 des points M(x ; y)
tels que MO^2 + 2*MA^2 = 36
2) Trouvez une équation de l'ensemble E2 des points M(x ; y)
tels que MB^2 - MA^2 = 36
3) Construisez E1 et E2 et trouvez les coordonées des points
communs à ces deux ensembles"

J'ai d'abord essayé avec une formule basique dans ce goût :
MO = (x^2 + y^2)
de même pour MA, et arpès un calcul qui me semble
douteux, je tombe sur une équation de ce style :
5*x^2 + 5*y^2 - 24*x = 0
ce qui ne me semble pas être le résultat attendu.

J'imagine qu'il faut plutôt utiliser l'une des applications
du produit scalaire, mais je ne parviens pas à déterminer
de quelle manière ...

Merci de bien vouloir me venir en aide
Bonne (fin de) journée

[pgeod]

bonsoir,

Pour rechercher une équation de l'ensemble des points M
satisfaisant à la relation donnée, on peut :

- soit développer un produit scalaire en introduisant le point
G défini comme le barycentre du système {(O; 1) (A; 2)}

- soit, comme tu as commencé à le faire, de manière analytique :

MO² = x² + y²
MA² = (x - 3)² + y²
d'où il vient que :
MO² + 2MA² = x² + y² + 2(x - 3)² + 2y²
qui se simplifie, sauf erreur, en :
3x² - 12x + 3y² + 18
= 3 (x² - 4 x + y² + 6)
= 3 [(x - 2)² - 4 + y² + 6]
= 3 [(x - 2)² + y² + 2]


d'où il vient que :
MO² + 2MA² = 36
<=> 3 [(x - 2)² + y² + 2] = 36
<=> (x - 2)² + y² + 2 = 12
<=> (x - 2)² + y² = 10

Equation d'un cercle de centre (2; 0) et de rayon sqr(10)

Raisonnement similaire pour la question 2)...

...

[Anonyme]

Merci beaucoup Pgeod ;
Je pense avoir bien compris le raisonnement,
et j'ai trouvé pour la question 2) :
36 = (x - 3)² + y² + x² + (y - 3)²
puis 27/2 = (x - 3/2)² + (y - 3/2)²
Donc E2 serait un cercle de centre (3/2 ; 3/2)
et de rayon (27/2),
En éspérant n'avoir fait aucune erreur dans les petits calculs.

Par contre, maintenant que je me penche sur la dernière question,
j'ai un doute quant à la méthode de résolution :
faut-il passer par une égalité entre les deux équations,
comme ceci : (x - 2)² + y² - 10 = (x - 3/2)² + (y - 3/2)² -27/2
ou avec un système d'équations avec les deux que l'on a obtenues
dans les question précédentes
(ou encore autre chose de totalement différent ...)

Merci encore