Dérivés : Extremum introuvale

[Benous66]

Bonjour je suis en 1ere ES, j'ai un DM de maths à faire pendant les vacances mais je n'arrive en rien à faire ce derniere exercice :

On se propose de trouver dans quel cas la fonction f:x--> x3 + ax2 + bx + c n'admet aucun extremum sur R.

1) Etudier le signe de trinome 3x2 + 2ax + b (discutez en fonction des paramètre a et b).
2) Expliquer pourquoi les propriétés (P1) et (P2) sont équivalentes :
(P1) : f n'admet aucun extremum sur R.
(P2) : f'(x) est toujours du meme signe.
3) Donnez une condition nécéssaire suffisante pour que f n'admette aucun extremum sur R.
4) Déduisez-en deux valeurs a et b pour lesquelles la fonction f n'admet aucun extremum sur R.

Aidez moi svp...

[Lostounet]

Salut,

Si le discriminant d'un trinôme est négatif, alors il est du signe le coefficient devant le x^2.

Donc commence par calculer le discriminant (dont l'expression va dépendre de a et b)

[Benous66]

Comment on calcul le discriminant car il y a 2 inconnues. Faut-il calculer plusieurs fois le discriminant avec des valeurs différentes ?

[Lostounet]

Non, tu le calcules normalement comme si a et b étaient des nombres...
Essaye déjà...

[Benous66]

Pour la numéro 1 j'ai trouvé que si le discriminant etait negatif alors la courbe serait toujours positive, si le discriminant est nul alors la courbe sera aussi positive et si le discriminant est positif alors la courbe sera positive puis negative puis positive. ( j'ai mis tous ça dans des tableau de signe )
Pour la numéro 2, j'ai mis que (P1) et équivalent à (P2) car si f'(x) est toujours du meme signe, alors c'est que cette courbe est une courbe du 2nd degré qui est la courbe de la dérivée d'une équation du 3eme degré qui elle a une courbe sinosoidale, de plus la courbe sinusoidale n'admet pas d'extremum.
Pour la question 3 j'ai recopié (P2)...
Et je bloque maintenant à la question numero 4.

[Lostounet]

Pour la numéro 1 j'ai trouvé que si le discriminant etait negatif alors la courbe serait toujours positive, si le discriminant est nul alors la courbe sera aussi positive et si le discriminant est positif alors la courbe sera positive puis negative puis positive. ( j'ai mis tous ça dans des tableau de signe )
Pour la numéro 2, j'ai mis que (P1) et équivalent à (P2) car si f'(x) est toujours du meme signe, alors c'est que cette courbe est une courbe du 2nd degré qui est la courbe de la dérivée d'une équation du 3eme degré qui elle a une courbe sinosoidale, de plus la courbe sinusoidale n'admet pas d'extremum.
Pour la question 3 j'ai recopié (P2)...
Et je bloque maintenant à la question numero 4.

Attention, je pense que tu ne vas obtenir aucun point si c'est un devoir noté et que tu écris cela... car tu ne réponds pas exactement aux questions posées mais à coté...


La question posée est: on te donne un trinôme
Sais-tu oui ou non calculer explicitement son discriminant??? Petit coup de pouce:

Comprends-tu ? C'est la formule b^2 - 4ac mais adapté à la situation.

[pascal16]

f (x)= x3 + ax2 + bx + c , pour tout x, est la fonction

3x2 + 2ax + b qu'on te demande d'étudier est en fait f'

remarque :
_ x3 est dominant en +oo et -oo, on a donc que la limite de f en -oo est -oo et en +oo, c'est +oo.
_ la fonction polynôme est continue et dérivable, f admet un extremum local si : sa dérivée s'annule (et change de signe).
_ la fonction polynôme est continue et dérivable, si f n'admet pas d'extremum local, sa dérivées est positive (elle a le droit de s'annuler en un point)

le (et change de signe). est souvent absent des cours de 1er et on en parle pour la convexité en terminal alors qu'avec la bonne définition dès le départ, ça serait mieux.

[Benous66]

En effet j'ai trouvé que le discriminant était égal à 4a^2 - 12b
Je fait quoi ensuite, Pascal je n'es pas compris ta démarche

[pascal16]

les courbes sinusoïdales, c'est pas des polynômes, des paraboles, oui

P1 implique p2
(P1) : f n'admet aucun extremum sur R.
f est infiniment dérivable
si f admettrait un extremum local sur R, sa dérivée s'y annulerait en changeant de signe
donc f'(x) est toujours du même signe.

P2 implique p1
(P2) : f'(x) est toujours du même signe.
f est donc strictement croissante ou strictement décroissante, n'admet pas d'extremum local sur R

la 3, (P2) devient alors un CNS

la 4.
petite remarque, f' a le droit de s'annuler (racine double en fait)
f'(x)=3x² + 2ax + b
delta = (2a)²-4*3*b=4a²-12b
il faut delta <=0
soit 4a²-12b<=0
càd a²<=3b (donc b sera >=0)et c lui peut être quelconque

[Benous66]

Merci beaucoup

[Benous66]

Pascal pour la 3 tu dit que P2 devient un CNS mais qu'est ce qu'un CNS ??

[laetidom]

Pascal pour la 3 tu dit que P2 devient un CNS mais qu'est ce qu'un CNS ??

Salut,

Condition Nécessaire et Suffisante

[Benous66]

merci

[Lostounet]

merci

Salut Benous,
As-tu finalement réussi à comprendre le but de l'exo?

[Benous66]

oui merci