Dérivée d'ordre n de la fonction tan x.

par **Dinozzo13** » 29 Juin 2009, 23:10

Bonjour, j'ai voulu calculer la dérivée d'ordre

de la fonction

mais je n'y arrive pas, pourriez-vous m'aider, merci.

Je désigne par f la fonction :

.

Or je sais que

donc

est définie et dérivable sur tous les intervalles de la forme

où

, donc

:

. Ensuite, je dis que

est définie sur les mêmes intervalles que

, elle est donc dérivable sur ces mêmes intervables,

:

,

mais après, les calculs deviennent long et compliqués, j'ai donc de la difficulté à conjecturer pour obtenir

, merci de votre aide :help:

PS:d'après ce qu'on m'a dit, je rajouterais que cette fonction f(x)=tan x est de classe

.

par **uztop** » 29 Juin 2009, 23:39

Salut,

tan est effectivement de classe

mais je ne crois pas qu'on puisse écrire ses dérivées n-ièmes de façon simple; comme tu l'as remarqué ça se complique à chaque nouvelle itération.

par **Skullkid** » 30 Juin 2009, 00:01

Salut, il me semble également qu'il n'y a pas d'expression "simple" de

. Cela dit on peut obtenir pas mal d'informations dessus :

où les

sont une famille de polynômes pour lesquels on peut tirer simplement le degré et le monôme dominant via une relation de récurrence.

par **Dinozzo13** » 30 Juin 2009, 02:35

D'accord, merci pour ces information, j'aurais pu continuer à chercher pendant longtemps sans résultats :fire: .

par **Timothé Lefebvre** » 30 Juin 2009, 05:24

Salut,

une remarque sur ta dérivée seconde, au dénominateur je trouve

.

par **Timothé Lefebvre** » 30 Juin 2009, 05:38

Dinozzo13 a écrit:Je désigne par f la fonction : .

Seconde remarque : il faut bien préciser par \ que D_f revient à R exclu de pi/2 + kpi (k dans Z).

par **Dinozzo13** » 30 Juin 2009, 05:52

oui oui, c'était une erreur de frappe avec toutes ces formules :ptdr: , c'est bien cos^{3}x.Quand au domaine D_f, je l'ai mis mais le programme a du le prendre en compte dans la notation et l'a fait disparaître :ptdr: , merci.

par **Timothé Lefebvre** » 30 Juin 2009, 05:58

Lol okay :)

par **busard_des_roseaux** » 30 Juin 2009, 07:04

Bonjour,

soit f=tan()

on linéarise

(**)

ensuite, on peut appliquer la dérivée kième d'un produit (formule de Leibnitz)

en faisant varier k de 0 à n, à l'égalité (**)

ce qui donne un système.

est donnée avec une formule de déterminants de système de Cramer.

par **Dinozzo13** » 30 Juin 2009, 21:06

:doh: , alors là ça me dépasse, ce n'est pas de mon niveau, je vous fais confiance là-dessus :we:

Dérivée d'ordre n de la fonction tan x.

dérivée d'ordre n de la fonction tan x.

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