Dérivée et nombre absolue

[AllanPoe]

Bonjour a tous,

J'ai une question toute simple, est ce que ma dmarche est bonne ? :

--> Est-ce que la fonction u définie par u(x) = 2x+;)x-3;)est dérivable en 3 ? Justifiez la réponse.

Pour faire simple je n'ai pas vraiment pris compte des valeurs absolue et j'au calculer la limite de [u(x+h)-u(x)]/h lorsque h tend vers 0 et que x=3

Et je trouve 3 et donc comme c'zest un nombre je peux affirmer que la fonction est dérivable en 3.
Mais ca me parait trop simple. J'ai l'impression que il y a un piège avec les valeurs absolues mais je ne sais pas quoi en faire.

Merci d'avance de votre aide

[henriettedumans]

Bonsoir Edgar

comme on cherche la lim de (u(x+h)-u(x)) / h avec x=3
tu sais que x=3 dans ce calcul, donc x-3=0 et x+h-3>0 car h est positif donc |x+h-3|=x+h-3

[Archytas]

Bonjour a tous,

J'ai une question toute simple, est ce que ma dmarche est bonne ? :

--> Est-ce que la fonction u définie par u(x) = 2x+;)x-3;)est dérivable en 3 ? Justifiez la réponse.

Pour faire simple je n'ai pas vraiment pris compte des valeurs absolue et j'au calculer la limite de [u(x+h)-u(x)]/h lorsque h tend vers 0 et que x=3

Et je trouve 3 et donc comme c'est un nombre je peux affirmer que la fonction est dérivable en 3.
Mais ca me parait trop simple. J'ai l'impression que il y a un piège avec les valeurs absolues mais je ne sais pas quoi en faire.

Merci d'avance de votre aide

Salut, ce que tu es sûre c'est que ta fonction est dérivable à gauche et à droite. Tu peux donc chercher la limite de la dérivée de la fonction x -> 2x-(x-3) quand x tend vers 3 par valeurs inférieures puis celle de la fonction x -> 2x+(x-3) si ce sont les mêmes la dérivée est continue en 3 et donc ta fonction est dérivable sinon elle ne l'est pas.
A priori elle ne semble pas dérivable tu t'es peut être trompée quelque part...

[henriettedumans]

c'est parce qu'il y a la valeur absolue et que donc la fonction n'est pas forcément continue qu'on utilise le nombre dérivé à gauche et à droite?

[AllanPoe]

Salut, ce que tu es sûre c'est que ta fonction est dérivable à gauche et à droite. Tu peux donc chercher la limite de la dérivée de la fonction x -> 2x-(x-3) quand x tend vers 3 par valeurs inférieures puis celle de la fonction x -> 2x+(x-3) si ce sont les mêmes la dérivée est continue en 3 et donc ta fonction est dérivable sinon elle ne l'est pas.
A priori elle ne semble pas dérivable tu t'es peut être trompée quelque part...

Je ne comprends pas trop l'histoire de dérivable à gauche et à droite ? :s

J'ai fais un truc j'ai tout changer mon raisonnement et j'ai fais deux fois le calcul de la limite avec dans un premier temps une fonciton u(x)= 2x-x+3 soit x+3 et la a la fin je tombe sur h/h donc en gros c'est pas dérivable nan ?

Puis après j'ai fais avec u(x)=2x+x-3 soit 3x-3 et j'obtient à la fin 3h/h et c'est donc la je trouve 3 et c'est dérivable donc comment je fais ?

Si d'un coté ca l'ai mais de l'autre non ?

[henriettedumans]

h/h = 1, donc c'est bien dérivable, non?

[AllanPoe]

Mais h tend vers 0 donc je crois que c'est 0 :)

[henriettedumans]

Mais h tend vers 0 donc je crois que c'est 0

ben tu peux simplifier h/h = 1, quelque soit le nombre vers lequel tend h. De la même façon que dans ton autre calcul quand tu es arrivé à 3h/h tu as simplifié.

D'ailleurs tu as raison h tend vers 0, mais dans ce cas tu obtiens lim h/h = 0/0 ce qui est une forme indéterminée.

[AllanPoe]

ben tu peux simplifier h/h = 1, quelque soit le nombre vers lequel tend h. De la même façon que dans ton autre calcul quand tu es arrivé à 3h/h tu as simplifié.

D'ailleurs tu as raison h tend vers 0, mais dans ce cas tu obtiens lim h/h = 0/0 ce qui est une forme indéterminée.

Ahhh Eureka !
J'ai compris pourquoi ce n'est pas dérivable ! OUi tu as raison ca fais 1 et 3
Et comme 1 et 3 sont censé être les coefficients directeurs ce n'est pas possible que une droite ai deux coeff donc ce n'est pas dérivable

[henriettedumans]

yep!

moi là où je ne suis pas sûre de comprendre, c'est pourquoi dans ce cas là on cherche la dérivée à droite et à gauche? est-ce parce que c'est pas continu à cause de la valeur absolue?

[Archytas]

Une fonction f définie sur un intervalle I est dérivable en un point a de I si et seulement si elle est dérivable à gauche, dérivable à droite de a et que les deux dérivées sont égales. Ici, notre fonction est dérivable à droite et cette dérivée vaut 3 ce qui rempli la première condition, elle est dérivable à gauche et la dérivée à gauche vaut 1 ce qui rempli la deuxième condition mais 1 est différent de 3 donc la denière condition n'est pas réalisée.
C'est généralement comme ça qu'on procède pour les histoire de dérivabilité en un point, ça évite de passer par les limite de h etc...
Graphiquement la non-dérivabilité d'une fonction se voit par ses "pics", des cassures de la courbe. Ce qui correspond au fait que la dérivée n'est pas continue, la pente passe d'un point à l'autre à deux valeurs différentes.
Je vous conseille fortement de télécharger le logiciel "géogebra" il est gratuit et très facile à utiliser, vous pourrez voir les cassures (ou sinon vous tracez le graphe de la fonction sur une feuille, elle est pas trop dur à faire). Bien sûr l'observation graphique ne donne que des pistes et ne consitue pas de démonstration mais avoir un suppot visuel est souvent d'une grande aide :lol3: .

Pour la dérivabilité à droite est à gauche c'est ce que vous faites avec les h sans vous en rendre compte. Quand h tend vers 0 par valeurs négatives vous testez la dérivabilité à gauche et par valeurs négatives celle à droite.