Dérivée - loi de refroidissement de Newton

[RD04]

Bonjour à tous,

j'essai de résoudre un problème mais je ne suis pas sur de ma réponse.

Voici l'énoncé:
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Le taux de variation de la température d'un corps est proportionnel à la différence de température entre le corps et le milieu ambiant ; en physique cette loi s’appelle "la loi de refroidissement de Newton". Si la température du milieu ambiant est stable à 30 degré Celsius, la loi de Newton s'énonce symboliquement par dT/dt = -c(T - 30) où c est une constante positive.

Le graphique ci-dessous (en pièce jointe) illustre la baisse de température T d'une tasse de café dont la température passe de 90 degré Celsius à 30 degré Celsius.

ProblèmeDérivée.jpg (28 Kio) Vu 3825 fois

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Question a): Estimez la valeur de T et de dT/dt lorsque t = 0,45. (Notez qu'une heure = 60 minutes ; 0,1 = 6 minutes.)
Question b) : Utilisez les réponses trouvées en a) pour déterminer la valeur de la constante c.

Ma question :

Est-ce qu'en a), T vaut 40 et je n'arrive pas à estimer dT/dt. Normalement je trouve la dérivée d'une fonction et de sa valeur lorsque je connais les fonctions en entier. (ici je ne connais pas la valeur de la constante c )

[pascal16]

tu peux tracer la tangente de la première question.
la pente de la tangente est dT/dt

[RD04]

Bonjour Pascal16,

comment tracer la pente de la tangente si je n'ai pas la fonction de base et que je n'ai pas le coefficient devant la parenthèse?

Merci.

[RD04]

tu peux tracer la tangente de la première question.
la pente de la tangente est dT/dt

Bonjour Pascal16,

comment tracer la pente de la tangente si je n'ai pas la fonction de base et que je n'ai pas le coefficient devant la parenthèse?

Merci.

[Tiruxa47]

Bonjour,

Ta figure est trop petite pour que l'on puisse lire la température au bout de 45 minutes, je suppose que sur ton document c'est possible.
Je vais supposer que l'on trouve 35 (le reste sera à modifier si la valeur est différente bien sûr)

Si on pose y = T - 30, on a y'=T' (c'est à dire dT/dt en notations physique)

L'équation vérifiée par y est y'=-c y
Equation différentielle d'ordre 1 dont le résultat est connu,

donc
Sachant que pour t=0 on a T =90 cela permet de trouver k
De plus pour t=0.45 on a T= 35 (à modifier si ce n'est pas la bonne valeur lue sur le graphique)
cela permet de trouver c.

[pascal16]

Je pense que c'est un exercice d'introduction aux calcul différentiel, il se fait par lecture graphique.

Tu traces la tangente pour t=0.45 sur la courbe, tu lis graphiquement la pente.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tangente_ ... %C3%A9trie)
http://homeomath2.imingo.net/didacticiel60.htm

[asmohdeus]

Bonjour, j'ai exactement le même exercice que RD04 ...

Sur le graphique, on peut voir qu'à 0,45, T vaut 40°c, en fait !
(Pour t=0.45, on a T = 40)

Je débute avec les dérivées alors je ne comprends pas trop bien ta solution Tiruxa47, bien qu'elle semble très bien expliquée ! Également, je n'ai jamais vu les symboles "ke^-at" de ton équation. (Peut-être car je ne suis pas de France et certains symboles ne sont pas standards)



Comment puis-je associer "ke^-at" aux informations que j'ai ?

[pascal16]

sans l'éditeur 2D, un exposant s'écrit "^" comme sur certaine calculatrices.

[asmohdeus]

Merci de cette réponse rapide ! .. mais ça ne me dit pas ce que représentent "ke" et "-at" dans l'équation de Tixura47 =/

[pascal16]

t : est le temps
1/a : est l'amortissement en physique, il donne la vitesse à laquelle ça baisse
k : sert lui à fixer la valeur pour t=0

[asmohdeus]

Super !

Du coup quelle valeur remplace "a" ou ... "1/a" ?
Et à quoi correspond "e" ?

[pascal16]

e, c'est l'exponentielle

[asmohdeus]

Désolé je ne comprends pas trop. Ça me donne une tonne de variables à combler et je ne vois pas du tout quels nombres utilisés pour combler ces variables avec la situation, l'exercice qui m'est donné ..

Merci tout de même pour ces réponses Pascal16

[Tiruxa47]

Bonjour,

Ce n'est pas si ardu
pour t=0, T=90 donc y=90-30=60, or exponentielle de zéro vaut 1 donc si on remplace t par 0, on obtient y= k
donc k=60
donc
T=

Il reste à trouver c
Pour t= 0.45 on a T=40
donc
40=

Voilà il reste à trouver c par la méthode classique qui consiste à isoler l'expo puis à utiliser le logaritme népérien.

[asmohdeus]

Ce n'est pas si ardu

On ne naît pas doué en maths x)

Hélas dans mon cheminement je n'ai pas encore vu le logarithme naturel / népérien, je suppose que l'enseignant s'attend à ce que j'utilise une autre méthode pour trouver la solution.
Pour le moment, la plupart des explications que vous avez généreusement fournies utilisent des formules que je n'ai pas encore vu, donc je vais laisser tomber =/

Merci à tous pour vos tentatives, c'est très gentil.

[Lostounet]

Bonsoir Asmohdeus,

Je pense qu'on peut essayer de s'en sortir par lecture graphique. En effet la valeur de la dérivée dT/dt (que l'on note parfois T') est la pente de la tangente à la courbe de la fonction T en un point donné. Je pense qu'on veut donner une estimation pour t=0.45 h de la valeur de T (facile on lit T(0.45) sur le graphique) et de la pente de la tangente à la courbe de T au point d'abscisse t=0.45 h (l'as-tu tracée?). Cela donne la valeur de T'(0.45)=dT/dt(0.45)

Une fois dT/dt(0.45) et T(0.45) connues, il suffit de résoudre une équation du premier degré à une inconnue qui est c car on sait que dT/dt(0.45)=-c(T(0.45)-30)

PS: Comme la consigne est d'estimer on peut se contenter d'une approche graphique. Si on veut des valeurs exactes, il faudra alors utiliser la méthode de Tiruxa et résoudre l'équation différentielle linéaire d'ordre 1 pour trouver la constante c en utilisant des conditions initiales (et avoir recours au logarithme ...)