Derivé seconde de tanh(x)

[Anonyme]

mes "maths" etant lointaines (+de 20ans c'est dure de reprendre)

je bloque sur la derivé seconde de tanh(x)

tanh'(x) = 1/ch^2(x) = 1-tanh^2(x);

mais tanh''(x) = ? ,si mon analyse d'un prog (gradient conjugué) est bonne
cela doit etre :

1/(1-tanh^2(x))^2 mais je ne peux le verifier

merci pour votre aide
--
Bruno Causse
http://perso.wanadoo.fr/othello

[Anonyme]

Bonjour,

Bruno écrivait :
> tanh'(x) = 1/ch^2(x) = 1-tanh^2(x);
> mais tanh''(x) = ?
> 1/(1-tanh^2(x))^2 mais je ne peux le verifier

Dérivée de uov ("u rond v") : v'(u'ov)
Dérivée de u^a (a réel != 1) : au^{a-1}
Tu peux vérifier en utilisant ces formules.

Maple dit : tanh" = -2*(1-tanh^2)*tanh

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

dans l'article XnF943087F8AB3B3michel@193.252.19.141, Michel à
overdose@alussinan.org a écrit le 11/11/2003 13:22 :

> Bonjour,
>
> Bruno écrivait :[color=green]
>> tanh'(x) = 1/ch^2(x) = 1-tanh^2(x);
>> mais tanh''(x) = ?
>> 1/(1-tanh^2(x))^2 mais je ne peux le verifier
>
> Dérivée de uov ("u rond v") : v'(u'ov)
> Dérivée de u^a (a réel != 1) : au^{a-1}
> Tu peux vérifier en utilisant ces formules.
>
> Maple dit : tanh" = -2*(1-tanh^2)*tanh[/color]


ch^2(x) = ((e^x + e^-x)^2)/4 = (e^2x + 2 + e^-2x)/4

(ch^2(x))' = (2e^2x - 2e^-2x)/4 = 2(e^2x - e^-2x)/4

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

=> 2(e^2x - e^-2x)/4 = 2* (e^x + e^-x)/2 * (e^x - e^-x)/2
= 2 * sinh(x)*cosh(x)

tanh''(x) = -2*sinh(x) * cosh(x)/cosh^4(x)

= -2 * tanh(x)/cosh^2(x)

= -2 * tanh(x) * (1 - tanh^2(x))

finalement c'est comme le velo



--
Bruno Causse
http://perso.wanadoo.fr/othello

[Anonyme]

Bruno wrote in message news:...
> mes "maths" etant lointaines (+de 20ans c'est dure de reprendre)
>
> je bloque sur la derivé seconde de tanh(x)
>
> tanh'(x) = 1/ch^2(x) = 1-tanh^2(x);
>
> mais tanh''(x) = ? ,si mon analyse d'un prog (gradient conjugué) est bonne
> cela doit etre :
>
> 1/(1-tanh^2(x))^2 mais je ne peux le verifier
>
> merci pour votre aide

Pour dériver tanh' , on utilise les formules usuelles de dérivation
(somme, produit, puissance, etc ...)

u²(x) a pour dérivée 2*u(x)*u'(x)

1 a pour dérivée 0

1 - u²(x) a pour dérivée -2*u(x)*u'(x)

où u représente la fonction tanh et u' la dérivée de u

Il suffit de remplacer u(x) par tanh(x) et u'(x) par 1 - tanh²(x)

On obtient tanh''(x) = -2*tanh(x)*(1 - tanh²(x))