Dependances et indépendance matrices

par **Dante0** » 29 Sep 2012, 13:44

Bonjour

J ai beaucoup de mal a comprendre la definition mathematique de ces notions.
Pourquoi dit on que les colonnes ou lignes d une matrice sont linéairement dependabte s il y a un zeri sur la diagonale principale ?
Comment savoir si les colonnes d une matrice sont libres ou liees sans calcul ?
Par exemplz on me demande sans calculs de dire si les colonnes ee cette matrice sont livres ou liees
2. 0. -1
2. -2. 3

Je suis desole pour les fautes et le latex je sur mobile

Merci !

par **Manny06** » 29 Sep 2012, 16:02

Dante0 a écrit:Bonjour

J ai beaucoup de mal a comprendre la definition mathematique de ces notions.
Pourquoi dit on que les colonnes ou lignes d une matrice sont linéairement dependabte s il y a un zeri sur la diagonale principale ?
Comment savoir si les colonnes d une matrice sont libres ou liees sans calcul ?
Par exemplz on me demande sans calculs de dire si les colonnes ee cette matrice sont livres ou liees
2. 0. -1
2. -2. 3

Je suis desole pour les fautes et le latex je sur mobile

Merci !

ici tes colonnes representent des vecteurs de R² (2 composantes)
3 vecteurs de R² sont forcément liés (nombre de vecteurs superieur à la dimension de l'espace vectoriel)

par **Dante0** » 29 Sep 2012, 22:50

Que veux tu dire par composantes et dimension de l espace vectoriel ? Les colonnes sont des vecteurs ?

par **Manny06** » 30 Sep 2012, 09:09

Dante0 a écrit:Que veux tu dire par composantes et dimension de l espace vectoriel ? Les colonnes sont des vecteurs ?

quand tu ecris une matrice tu peux considérer que les colonnes sont des vecteurs d'un espace vectoriel,le nombre de lignes correspond au nombre de composantes de ces vecteurs
ici tu as une matrice à 3 colonnes et 2 lignes tu peux l'interpréter comme 3 vecteurs à 2 composantes soit 3 vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 2 ce qui forme toujours un système lié (non libre)

par **Dante0** » 30 Sep 2012, 11:42

On a pas touche aux ev du coup y a pas d autres moyen de savoir ? Quid du rang ?

Je comprends pas ces definitions :
Les colonnrs d une matrice sont liees s il existe n nombres x1,...,xn tq x1c1+...+xncn = 0 a pour seul silution
x1=0
.
.
.
xn= 0

Les cilonnes sont libres si le systeme x1c1+...+xncn =0 a pr seule solution x1=0,...,xn=0

Pourquoi dans le premier cas les solutions st en colonnes et en ligne ds le ,2 eme ?

par **Dante0** » 30 Sep 2012, 11:43

Et quelle est la differen
ce aussi ?

par **Dlzlogic** » 30 Sep 2012, 11:54

Bonjour,
Tout de même surprenant qu'on parle de matrice sans avoir parle d'espaces vectoriels.

par **Dante0** » 30 Sep 2012, 12:19

Bah les matrices on connait mieux que les ev normalement..

par **Dante0** » 30 Sep 2012, 14:35

Qqn a une idée ? Je galère avec ces notions et ca me bloque pour le reste (rang etc..)

par **Manny06** » 30 Sep 2012, 15:33

Dante0 a écrit:Qqn a une idée ? Je galère avec ces notions et ca me bloque pour le reste (rang etc..)

c1,c2,.....cn sont des colonnes
x1,x2,....xn sont des réels
x1c1+x2c2+......+xncn est une combinaison linéaire des n colonnes
les n colonnes forment un système lié s'il existe une combinaison linéaire à coefficients non tous nuls de ces colonnes égale à la colonne nulle

ex si 2c1+3c2-4c3=0 alors c1,c2,c3 forment une famille liée

si x1c1+x2c2+x3c3=0 implique x1=x2=x3=0 alors c1,c2,c3 forment une famille libre

par **Dante0** » 30 Sep 2012, 15:52

Quand je lis les 2 propriété de mon cours je ne vois pas la différence :

Les colonnes d une matrice sont liees s il existe n nombres x1,...,xn tq x1c1+...+xncn = 0 a pour seul solution
x1=0
.
.
.
xn= 0

Les colonnes sont libres si le systeme x1c1+...+xncn =0 a pr seule solution x1=0,...,xn=0
est-ce que ca a un sens que dans le cas des colonnes liees les solutions sont en colonnes et en lignes dans l'autre cas ou ca n'a pas d'importance ?

par **Dante0** » 30 Sep 2012, 19:13

up :help: :help: :help: :help:

par **Manny06** » 01 Oct 2012, 22:20

Dante0 a écrit:Quand je lis les 2 propriété de mon cours je ne vois pas la différence :

Les colonnes d une matrice sont liees s il existe n nombres x1,...,xn non tous nuls tels que x1c1+x2c2+....+Xncn=0
Les colonnes sont libres si le systeme x1c1+...+xncn =0 a pr seule solution x1=0,...,xn=0
est-ce que ca a un sens que dans le cas des colonnes liees les solutions sont en colonnes et en lignes dans l'autre cas ou ca n'a pas d'importance ?

j'ai corrigé la definition ci-dessus

par **Dante0** » 02 Oct 2012, 08:33

Donc ds le cas dune matrice libre les coefficients x1 jusqu a n doivent tous etres nuls ?

par **Anonyme** » 02 Oct 2012, 08:38

Question :
A quoi sert de connaitre la dépendance et l'indépendance d'une matrice ?

Dependances et indépendance matrices

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