Démontrer que les vesteurs GA + GB + GC = vecteur nul dans un triangle

[dy3ragon]

bonjour, j'aurais besoin d'aide, je me casse la tête sur 2 questions, je réfléchis mais je ne trouve pas, alors je me demandais si vous pouviez me donner un petit coup de main et une petite explication rapide si possible!
d'avance merci beaucoup à ceux qui me répondront et m'aideront ! ;)

ABC est un triangle. G son centre de gravité.
A' est le milieu de [BC], B' le milieu de [AC] et C' milieu de [AB].
E et D sont les symétriques respectifs de G par rapport à B' et A'

a) Exprimer chacun des vecteurs GA, GB et GC en fonction des vecteurs CD et CE.

b) Simplifier GA+GB+GC ( ce sont les vecteurs)

[ajl]

bonjour, j'aurais besoin d'aide, je me casse la tête sur 2 questions, je réfléchis mais je ne trouve pas, alors je me demandais si vous pouviez me donner un petit coup de main et une petite explication rapide si possible!
d'avance merci beaucoup à ceux qui me répondront et m'aideront !

ABC est un triangle. G son centre de gravité.
A' est le milieu de [BC], B' le milieu de [AC] et C' milieu de [AB].
E et D sont les symétriques respectifs de G par rapport à B' et A'

a) Exprimer chacun des vecteurs GA, GB et GC en fonction des vecteurs CD et CE.

b) Simplifier GA+GB+GC ( ce sont les vecteurs)

Bonjour,
AGEC est un parallèlogramme. On peut donc comparer les vecteurs GA et CE
BG=GE
GC=GE+GD en vecteurs.

GA+GB+GC=0 en vecteurs

[dy3ragon]

comme dans la 2ème partie du DM, on me dit:
on va démontrer que G est l'unique point vérifiant que les vecteurs GA+GB+GC= vecteur nul

1) soit H un point quelconque du plan. ( moi je l'ai placé sur le segment [EC])
A l'aide de la relation de Chasles, exprimer les vecteurs HA+HB+HC en fonction du vecteur HG
-->alors 'ai débuter comme ça : HA+HB+HC = ( HG+GA)+(HG+GB)+(HG+GC) = 3HG+GA+GB+GC

mais après je ne sais pas comment faire!
2) on suppose que le point H est tel que les vecteurs HA+HB+HC= vecteur nul. Prouver alors que G et H sont confondus.

désolé de poser autant de questions mais j'ai vraiment du mal avec les vecteurs!

[oscar]

Bjr:GAEC et GCDB parallélogrammes
VGA = VCE
VGB=V CD
VGC=V GE +VEC= -VCD -V CE
+> VGA+VGB+VGC=

[ajl]

comme dans la 2ème partie du DM, on me dit:
on va démontrer que G est l'unique point vérifiant que les vecteurs GA+GB+GC= vecteur nul

1) soit H un point quelconque du plan. ( moi je l'ai placé sur le segment [EC])
A l'aide de la relation de Chasles, exprimer les vecteurs HA+HB+HC en fonction du vecteur HG
-->alors 'ai débuter comme ça : HA+HB+HC = ( HG+GA)+(HG+GB)+(HG+GC) = 3HG+GA+GB+GC

mais après je ne sais pas comment faire!
2) on suppose que le point H est tel que les vecteurs HA+HB+HC= vecteur nul. Prouver alors que G et H sont confondus.

désolé de poser autant de questions mais j'ai vraiment du mal avec les vecteurs!

Bonsoir,
On va se servir d'une propriété du barycentre à savoir que : pour tout point H du plan on a:
3HG= HA +HB +HC en vecteurs.

Ensuite on suppose qu'il y a un deuxième point par exemple H tel que
HA+HB+HC=0 alors en se servant de la relation précédente on en déduit que :

3HG=0 en vecteurs
relation qui s'interprète en disant que le vecteur HG est nul donc que G et H sont des points confondus.

[oscar]

figure


http://img39.imageshack.us/i/triangleetcentredegravi.jpg/