Démonstration Ln

[Joker62]

C'est pas un théorème
C'est une caractérisation.

[J-R]

je ne comprend pas pourquoi je n'ai pas respecté la caractérisation (merci Joker62)

tu as réussi à dépasser un M à la fin!

[emdro]

En clair,

trouve moi un M tel que dès que x>M alors lnx > 1 000 000 en utilisant le cheminement de ta démonstration.

[J-R]

x>M

=>

donc

[emdro]

x>A

ln(x)>ln(A)

on pose M=ln(A)

donc f(x) >M

Tu as changé de démonstration en cours de route: ce que tu viens de dire (avec l'exponentielle) est juste mais utilise l'exponentielle.

Ton raisonnement de la page 1 donnerait
x>1000000

ln(x)>ln(1000000)

on pose M=ln(1000000)

donc f(x) >M

et tu vois que tu n'avais pas DU TOUT démontré que lnx>1000000, mais juste que lnx> ln(1000000). Ce qui n'est pas pareil. C'est pour cela que ton raisonnement n'est pas correct.

[J-R]

ah ouais j'ai compris mais pourquoi ce n'est pas pareil si on démontrer que ln(x)>ln(1 000 000) ou que ln(x)> 1 000 000 car mon problème vient de là pour moi ln(1 000 000) peut etre égal à M...

merci :++:

[emdro]

Je t'en prie. :we:

Au passage, tu vois que les deux seuils:
* exp(1 000 000): le vrai
* 1 000 000 : celui que tu avais annoncé

ne sont pas vraiment du même ordre de grandeur!

ln tend vers +oo, mais très paresseusement!
Je te conseille de calculer, dans un repère d'unité 1cm, à quelle distance il faut aller pour que lnx dépasse 10, 15, puis 20 ....

[J-R]

mais pourquoi ce n'est pas pareil si on démontrer que ln(x)>ln(1 000 000) ou que ln(x)> 1 000 000

car ln(1000 000) est un nombre fixé aussi ?

[J-R]

ah non car ln(1000000) est très inférieur à 1000 000 c'est juste pour ca ?

[emdro]

oui, mais disons que:
* c'est moi qui te fixe le A à dépasser
* c'est à toi de trouver le seuil M qui convient;

C'est le sens du Pour tout A, il existe M...

Donc si je te fixe A=1 million, ton travail consiste non pas à changer ce 1 million en un nombre plus petit, et donc plus facile à dépasser (!) mais bel et bien, à trouver un seuil à partir duquel on dépasse ce 1 million!

et si cela marche pour tout A, c'est dans ce cas qu'on dit que ln tend vers l'infini en l'infini.

[emdro]

Une image qui pourrait te parler davantage et que je ne veux pas négliger:
graphiquement, le jeu est:
* je te fixe un A sur l'axe des ordonnées, et je hachure tout ce qui est en dessous.
* tu dois trouver un M sur l'axe des abscisses, tel qu'en hachurant tout ce qui est à gauche, la courbe de la fonction est entièrement contenue dans le coin en haut à droite, non hachuré.

NB une question indiscrète: tu es en quelle classe?

[J-R]

c'est bon je vais laisser murir dans mon petit cerveau et je pourrais récolté pour la terminale.

merci sincèrement emdro :we:

a+

[J-R]

merci pour l'exemple concret je suis en première .... bientot la terminale :)

[emdro]

Eh bien tu as raison d'essayer de bien comprendre cela. Si je ne me trompe, c'est même une des démonstrations de cours qui est au programme du bac. Tu auras pris un peu d'avance!

Bonne chance pour la TS et profite bien de tes vacances quand même!

[J-R]

ok merci

a+

[Nightmare]

Bonsoir à tous.

Une autre démo sympas :

Comme ln est croissante, on a deux possibilités : Soit elle converge, soit elle tend vers +oo.

Supposons qu'elle converge vers l.

On a ln(2x)=ln(2)+ln(x).
On aurait alors l=ln(2)+l soit ln(2)=0 ce qui est absurde.

On en conclut que ln tend vers +oo en +oo.

:happy3:

[J-R]

bonjour nightmare:

tu peux éclaircir le point là:

On aurait alors l=ln(2)+l soit ln(2)=0

merci

[emdro]

Hello,

la démonstration est élégante en effet, merci Nightmare.

Pour JR:
comme lnx tend vers l (c'est notre hypothèse), ln(2x) tend aussi vers l.
ln2+lnx tend vers ln2+l
Et comme il y a égalité entre ces fonctions, l=ln2+l

[J-R]

ah d'accord ok j'ai compris :we:

le raisonn
ement par l'absurde est aussi vu en terminale ?

merci (une fois de plus ! )

:)

[lapras]

Nightmare > J'aime bien ta démo ! :++:
(j'aime bien toutes les démo par labsurde en générale ^^)