Démonstration

par **lapras** » 11 Juin 2007, 18:16

Bonjour,
je n'arrive pas a démontrer ce théoreme :
Soit un nombre a non pair et non divisible par 5, il existre un nombre entier n tel que a * n sécrit avec uniquement des 1 .
Je crois qu'il faut résonner par récurrence.
Pouvez vous juste m'indiquer des idées ??

merci d'avance

par **lapras** » 11 Juin 2007, 19:26

Quelqun a des idées ?

par **annick** » 11 Juin 2007, 19:56

Bonsoir,
les seules pistes initiales que je trouve concernent le chiffre des unités :
le nombre n'est pas pair donc j'exclus 2,4,6,8,0
il n'est pas divisible par 5, donc j'exclus 5
Il me reste 1,3,7,9
Mais au fait, j'y pense, as-tu voulu écrire a x n ou a^n?

par **lapras** » 11 Juin 2007, 20:01

salut,
j'ai écris a fois n
a * n

par **emdro** » 11 Juin 2007, 20:01

Bonsoir,

je ne pense pas que tu auras besoin de récurrence.
Je te donne des indices:

Comment écrire autrement le nombre N=111.......1 (avec p 1)
NB On appelle ça un Rep-unit car on REPette l'UNITé.

a*n=N, cela se traduit par a divise N, non?
Comment dire cela autrement?

par **lapras** » 11 Juin 2007, 20:24

bah oui , a divise N, N est un multiple de a, je vois pas ou tu veux en venir ?

par **emdro** » 11 Juin 2007, 20:25

J'essayais en vain de t'amener sur le terrain des congruences.
Tu es en quelle classe?

par **lapras** » 11 Juin 2007, 20:30

salut, je suis en seconde, mais j'ai déja vu les modulos un peu , je vois pas a quoi congrue P modulo a ?

par **emdro** » 11 Juin 2007, 20:31

P ????????????

par **lapras** » 11 Juin 2007, 20:35

oups N pardon

par **emdro** » 11 Juin 2007, 20:39

Si a divise N , N sera congru à 0 modulo a.

C'est justement l'idée de la démonstration.

Et l'autre écriture que je te demandais de N=111111...1 ?

par **lapras** » 11 Juin 2007, 20:44

salut,
évidemment, N congru a 0 modulo a
l'écriture de N est sous la forme de 10^0 + 10^1 + .. + 10^i
i entier supérieur ou égale à 0

mais je trouve toujours pas de debouché

par **emdro** » 11 Juin 2007, 20:49

Si c'est bien la piste.
D'après les hypothèses, 10 n'est pas congru à 0 modulo a.
Si 10^k est congru à r(k) modulo a, les restes r(k) reviennent de manière cyclique. (car il n'y en a que a-1 possibles)

Exemple
10^0 est congru à 1 modulo 7
10^1 est congru à 3 modulo 7
10^2 est congru à 2 modulo 7
10^3 est congru à 6 modulo 7
10^4 est congru à 4 modulo 7
10^5 est congru à 5 modulo 7

Et on a utilisé tous les restes! Le prochain sera forcément dans la liste déjà utilisée (cela ne peut être 0)

Effectivement:
10^6 est congru à 1 modulo 7
et cela recommence forcément en boucle

par **lapras** » 11 Juin 2007, 21:08

salut,
comme a est impair et non divisible par 5, il ne divise pas 10, ok.
Donc il y a un reste à la division
N/a = ak + b
Le reste revient de maniere cyclique, ca veut dire quoi ,
Tu veux dire que les décimales sont périodiques ? Oui c logique puisque N/a est rationnel.

Ok j'ai compris ce que tu as marqué mais je ne vois pas la solution du probleme meme avec cette aide :(

par **emdro** » 11 Juin 2007, 21:12

lapras a écrit:N/a = ak + b

Pas vraiment:
Plutôt N=ak + b avec b entre 0 et a-1

Pour le reste regarde mon exemple ci-dessus.

par **emdro** » 11 Juin 2007, 21:17

Si tu as compris, on est presque au bout de nos peines:

dans notre exemple:
10^0+10^1+...+10^5=1+3+2+6+4+5 modulo 7

Donc 11111 est congru à 1+3+2+6+4+7 modulo 7.

De deux choses l'une:
* soit la somme à droite fait 0 modulo 7 (c'est le cas ici) et c'est gagné (effectivement 7 divise 111111)
* si la somme ne faisait pas 0, il suffirait de la répéter 7 fois et évidemment, on obtiendrait 0 modulo 7. Donc on proposerait le nombre: 111111.111111.111111.111111.111111.111111.111111 (j'ai mis des . pour t'aider!)

par **lapras** » 11 Juin 2007, 21:19

dsl pour l'erreur

oué je vois, c'est obligé de revenir en boucle , mais le reste peu tres bien etre de 4 tout le temps, et pas forcément 1
non ?

par **emdro** » 11 Juin 2007, 21:23

lapras a écrit: mais le reste peu tres bien etre de 4 tout le temps, et pas forcément 1
non ?

tu veux dire que -toujours dans mon exemple modulo 7-, pour k>5 on aurait toujours:
10^k congru à 4 modulo 7 ?

par **lapras** » 11 Juin 2007, 21:34

dsl j'avais pas vu ton message, j'ai enfin compris, soit on le reste congru à 0 modulo a et a divise 10^0 + 10^1 + ... + 10^i soit on multiplie a fois 10^0 + 10^1 + ... + 10^i pour que 10^0 + 10^1 + ... + 10^i congrue a 0 modulo a )

c'est ca ?

merci bcp de l'aide !!

par **emdro** » 11 Juin 2007, 21:38

Ouais, c'est cela.

maintenant 2 infos:
*je me suis peut-être trompé, il semble qu'un Rep-Unit ce soit un nombre constitué de 1 uniquement mais seulement quand il est premier; à vérifier!
*si a est premier, lorsque tu répètes (a-1) fois le nombre 1 cela marche:
7 divise 111111
13 divise 111111111111...
C'est le petit théorème de Fermat

bonsoir

Démonstration

Démonstration

Qui est en ligne