Démonstration

[Anonyme]

bonjour je suis actuellement en terminale S
et j'ai besoin de votre aide au sujet de démonstration:

comment démontre ton que pr tt nbr x réel, exp(a+b)=exp(a)x exp(b) avec les priopriétés de la fonction exp a savoir : exp est dérivable sur R, exp'(x)=exp(x), exp(0)=1


Merci d'avance

[mathador]

Bonjour,
Je te corrige d'abord l'énoncé : ce n'est pas pour x réel, mais pour a réel et b réel (logique...).
Voici un schéma de démonstration possible :
On considère la fonction g définie sur R par g(x)=exp(a+b-x)*exp(x).
On démontre par dérivation que cette fonciton est constante.
De plus g(0) = exp(a+b) et g(b) = exp a*exp b. Comme g est constante, g(0) = g(b) et par suite exp(a+b)=exp a*exp b.
Il existe d'autres méthodes qui se ressemblent... mais avec ce qu'on connait, on n'a pas d'autre choix que de trouver une fonction qui sera constante (en utilisant exp'=exp). Cette démonstration fait partie de la liste des ROC exigibles au bac : il est donc intéressant de bien la connaîte ...
Bonne continuation.