Démonstration ln(ab)

[math*]

Bonjour, je voulais savoir s'il était possible de démontrer que :
ln(ab)=ln(a)+ln(b) autrement qu'en passant par les expos ? :hum:

[anima]

Bonjour, je voulais savoir s'il était possible de démontrer que :
ln(ab)=ln(a)+ln(b) autrement qu'en passant par les expos ? :hum:

Il faut considérer F(x)=ln(ax). En la dérivant, on trouve 1/x.

Or, 1/x est aussi la dérivée de lnx. Il existe donc une constante telle que lnx+k=F(x)
F(1) = ln1+k k=lna
F(x) = ln x + lna
lnax = lnx + lna et si x=b
ln(ab) = lnb + lna

[simplet]

pour moi c'est un axiome dans la définition de la fonction ln.
Ou si on définit ln comme la bijection réciproque de la fonction expo alors cette propriété provient de celles de l'expo, qui a plusieurs définitions (equivalentes). (c'est ce que j'ai à dire la dessus en tout cas :-)



Pour anima, le fait que 1/x soit la dérivée de ln(x) n'a-t-il pas été trouvé en utilisant cette propriété??

[math*]

Merci anima, c'est ce que je cherchais. :id:

[anima]

pour moi c'est un axiome dans la définition de la fonction ln.
Ou si on définit ln comme la bijection réciproque de la fonction expo alors cette propriété provient de celles de l'expo, qui a plusieurs définitions (equivalentes). (c'est ce que j'ai à dire la dessus en tout cas



Pour anima, le fait que 1/x soit la dérivée de ln(x) n'a-t-il pas été trouvé en utilisant cette propriété??

1/x c'est l'axiome. La fonction lnx est définie comme l'aire entre l'axe 0x et la fonction 1/x entre 1 et x :zen: