Démonstration

[pierrelouisbourgeois]

Bonsoir,
auriez-vous une idée de comment démontrer :



Ce que je cherche c'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison q et de premier terme Up (j'ai trouvé pour les sommes commençant par U0). Ce que je n'arrive pas vraiment à montrer c'est le "nombre de termes", pour le premier terme j'ai pensé montrer que l'on factorisait pour faire apparaître la somme des 1 + q + q^2 +...+q^n

Merci pour votre aide

[lyceen95]

Tu dis que tu as trouvé pour les suites commençant par .
Bien.
Dans ce cas l'exercice est fini. Il suffit d'un changement de variable pour généraliser à toutes les suites ( et quand je parle de changement de variable, on doit pouvoir le faire de façon encore plus simple).

[pierrelouisbourgeois]

Je ne vois pas vraiment ce qu'est le changement de variable

[LB2]

Bonsoir,

la démonstration "classique" est la suivante.

Soit S = 1+q+q^2+q^3+....+q^n

qS = q+q^2+...+q^{n+1}

Donc qS-S = q^{n+1}-1

d'où le résultat (si q différent de 1 bien sûr).

[lyceen95]

La suite 8 16 32 64 128, on peut la voir comme la suite de Premier terme , de raison 2 , et (8,16,32,64,128) seraient les termes à .

Et on peut tout aussi bien dire que ce sont les 5 premiers termes de la suite commençant pas et de raison 2.

Le changement de variable ici, c'est de définir une suite

[pierrelouisbourgeois]

Le changement de variable ici, c'est de définir une suite

D'accord je crois avoir compris, mais pour le cas de la somme, je ne vois pas comment on peut généraliser ni comment changer de variable

[lyceen95]

On va reprendre la démonstration, depuis le début, sans distinguer le cas où on a les premiers termes d'une suite géométrique et le cas où on la les termes "suivants" d'une suite géométrique.

Soit
Calculons
Si on développe, tous les termes s'éliminent 2 à 2, et il ne reste que
Cqfd.
Ce n'est pas très bien formulé, mais il n'y a vraiment aucune raison de faire une démonstration pour le cas 'les premiers termes d'une suite géométrique', et un autre démonstration pour le cas général. Aucune raison.

[LB2]

Pour une somme commençant à un rang quelconque, il suffit de factoriser par ce premier terme pour se ramener au cas précédent (d'une suite géométrique avec premier terme 1)

[pierrelouisbourgeois]

Ok, merci