Demonstration de x>0

[Plimpton]

Salut à tous !

Comment démontrer rigoureusement que x>0 dans l'équation (2+x)e^(x-1)-1=0 ?

Merci d'avance

[Sake]

Salut à tous !

Comment démontrer rigoureusement que x>0 dans l'équation (2+x)e^(x-1)-1=0 ?

Merci d'avance

???

Soit f telle que pour tout x dans R (je peut m'octroyer ce luxe, puisque f est définie sur tout R), on a .

En dérivant (oui, cette fonction est aussi dérivable), on a :

qui s'annule ssi x = -3

En dessous, f' est négative, au-dessus, f' est positive.

Donc ta fonction est d'abord décroissante puis croissante à partir de x = -3.

Maintenant, et ,

En outre, on montre qu'elle est négative, puis positive.

[Plimpton]

Merci, Sake

Donc on a montré que f(x) est décroissante sur ]-inf;-3] et croissante sur [-3;+inf[. Or on a f(0) qui vaut environ -0.264, donc le théorème des valeurs itermediaires peut difficilement nous aider :/

[Lostounet]

Si le TVI peut nous aider: f tend vers -1 en -l'infini
elle continue à diminuer jusqu'à -3, puis elle se met à augmenter...

f(0) = -0,2... signifie qu'elle est pas encore devenue positive, f augmente encore par ailleur jusqu'à couper l'axe des abscisses.

En fait la solution est de l'ordre de x = 0,2.

[Plimpton]

Oula non, j'ai rien dit ! Ça prouve tout en fait ^^

[Plimpton]

Tout à fait, Lostounet