Demonstration

[youkef-sne]

Bonjour:
Soit la suite Un défini sur N par Un = n^2 - n + 1
Démontrer que Un>=n pour tout n appartenant à N
Voilà ce que j'ai fait:
La suite Un est défini de manière explicite à l'aide de la fonction f défini sur R par f(x) = x^2 - x + 1
On en déduis que f'(x) = 2x - 1
f'(x) >= 0 lorsque x >= 0,5
Ainsi on peut en déduire que f(x) et x sont positives et croissant sur [0,5 ; +inf[
On en deduis donc que pour tous reels x appartenant a I=[0,5 ; +inf[ f(x) >= x et si x = 1 on a f(x)=x
On en conclut que Un >= n pour tout n>= 0

Mon raisonnement est il.juste ?

[paquito]

Bonjour:
Soit la suite Un défini sur N par Un = n^2 - n + 1
Démontrer que Un>=n pour tout n appartenant à N
Voilà ce que j'ai fait:
La suite Un est défini de manière explicite à l'aide de la fonction f défini sur R par f(x) = x^2 - x + 1
On en déduis que f'(x) = 2x - 1
f'(x) >= 0 lorsque x >= 0,5
Ainsi on peut en déduire que f(x) et x sont positives et croissant sur [0,5 ; +inf[
On en deduis donc que pour tous reels x appartenant a I=[0,5 ; +inf[ f(x) >= x et si x = 1 on a f(x)=x
On en conclut que Un >= n pour tout n>= 0

Mon raisonnement est il.juste ?

C'est ce qu'il faut faire; pas de soucis! Il faut juste vérifier que

[youkef-sne]

C'est ce qu'il faut faire; pas de soucis! Il faut juste vérifier que

i
Donc j'ai juste a dire que U0 < U1 et ecrire ce que j'ai ecris ?

[MacManus]

Tu peux étudier le signe de la différence Un - n

On a: (pour tout n entier naturel)

[youkef-sne]

Tu peux étudier le signe de la différence Un - n

On a: (pour tout n entier naturel)

Ah oui pas bete merci MacManus pour l'idée

[paquito]

i
Donc j'ai juste a dire que U0 < U1 et ecrire ce que j'ai ecris ?

oui, ou tu fais ; dans les 2 cas, c'est bon.

[youkef-sne]

Ah oui pas bete merci MacManus pour l'idée

Voila ce que j'ai fait:
On a Un - n = ( n^2 - n + 1 ) - n = n^2 - 2n + 2 = ( n- 1)^2>=0
Demontrons par recurrence que pour tout entiet naturel n, on a: (n-1)^2
Initialisation: Un-n=(n-1)^2 -> U(0)-0=(0-1)^2=1>=0 donc la propriete est initialisée
Hérédité: Supposons que la propriété soit vrai pour un certain rang p, on a alors: U(p)-p=(p-1)^2>=0
Demontrons que cette propriété est hereditaire et donc qu'elle est vrai au rang p+1:
On a : U(p)-p=(p-1)^2 et l'hypothese de recurrence nous dit que U(p)-p>=0
D'ou p>=0, d'ou p-1>=-1 d'ou (p-1)^2>=1
Si (p-1)^2>=0 et 1>=0, alors on a forcement (p-1)^2 >= 0 Donc la prppriete est vrai au rang p+1
Conclusion: La propriete est initialisee au rang 0, et si la propriete est vrai au rang p alors elle est vrai au rang p+1 et donc elle est hereditaire. On en conclit donc que la propriete est vrai.pour tout n appartenant a N et U(n) - n >= 0

Comme U(n)-n>=0, on a alors Un>=n pour tout n appartenant a N .

C'est bon ou pas ?

[paquito]

Voila ce que j'ai fait:
On a Un - n = ( n^2 - n + 1 ) - n = n^2 - 2n + 2 = ( n- 1)^2>=0
Demontrons par recurrence que pour tout entiet naturel n, on a: (n-1)^2
Initialisation: Un-n=(n-1)^2 -> U(0)-0=(0-1)^2=1>=0 donc la propriete est initialisée
Hérédité: Supposons que la propriété soit vrai pour un certain rang p, on a alors: U(p)-p=(p-1)^2>=0
Demontrons que cette propriété est hereditaire et donc qu'elle est vrai au rang p+1:
On a : U(p)-p=(p-1)^2 et l'hypothese de recurrence nous dit que U(p)-p>=0
D'ou p>=0, d'ou p-1>=-1 d'ou (p-1)^2>=1
Si (p-1)^2>=0 et 1>=0, alors on a forcement (p-1)^2 >= 0 Donc la prppriete est vrai au rang p+1
Conclusion: La propriete est initialisee au rang 0, et si la propriete est vrai au rang p alors elle est vrai au rang p+1 et donc elle est hereditaire. On en conclit donc que la propriete est vrai.pour tout n appartenant a N et U(n) - n >= 0

Comme U(n)-n>=0, on a alors Un>=n pour tout n appartenant a N .

C'est bon ou pas ?

C'est vraiment se compliquer la vie!

[MacManus]

Oui c'est se compliquer la vie.
le plus simple est de faire comme j'ai indiqué précédemment, car c'est vrai pour tout n entier naturel (un carré est toujours positif ou nul), pas besoin de démo par récurrence.

calculer u(n+1)-u(n) est utile pour connaître le sens de variation de la suite (croissante ici) mais ce n'est pas vraiment ce qui est demandé.

effectivement, on voit bien que:
U0=1 >= 0
U1=1 >= 1
U2=3 >= 2
.
.
.

[paquito]

Oui c'est se compliquer la vie.
le plus simple est de faire comme j'ai indiqué précédemment, car c'est vrai pour tout n entier naturel (un carré est toujours positif ou nul), pas besoin de démo par récurrence.

calculer u(n+1)-u(n) est utile pour connaître le sens de variation de la suite (croissante ici) mais ce n'est pas vraiment ce qui est demandé.

effectivement, on voit bien que:
U0=1 >= 0
U1=1 >= 1
U2=3 >= 2
.
.
.

effectivement, j'avais mal lu la question et je pensais qu'il s'agissait des variations. Sinon la preuve est directe puisque on a donc , l'égalité ayant lieu uniquement pour .