Démonstration

[thepilot08]

Bonsoir,

Énoncé de l'exercice:Exercice 1:
Dans l'activité 3, on a conjecturé que le nombre irrationnel racinne carré de 2(V2) est la limite d'une suite de nombres rationnels. On se propose, dans cet exercice, de démontrer cette conjecture. f est la fonction définie sur R* par : f(x)= 1/2(x+2/x).
1)a) Justifiez que la fonction f est dérivable pour tout x de R*.
b) Démontrer que pour tout x de R*: f'(x)= (x-V2)(x+V2)/ 2x²
Déduisez-en le tableau de variation de f sur R*.



2) La suite (Un) est définie par u0=3/2 et pour tout entier naturel n, Un+1=f(Un).
a)Calculez u1 et u2.(Donnez les résultats sous la forme de fractions , puis sous forme décimale arrondie à 10^-5).
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, V2Déduisez-en que la suite (Un) est convergente.
c) Démontrez que pour tout n de N,
Un+1-V2<1/2(Un-V2).
d) Déduisez-en par récurrence que pour tout n de N, 0e) Déduisez-en lim Un.

je suis bloqué à la question 2) c)

[titine]

[quote="thepilot08"]Bonsoir,

Énoncé de l'exercice:Exercice 1:
Dans l'activité 3, on a conjecturé que le nombre irrationnel racinne carré de 2(V2) est la limite d'une suite de nombres rationnels. On se propose, dans cet exercice, de démontrer cette conjecture. f est la fonction définie sur R* par : f(x)= 1/2(x+2/x).
1)a) Justifiez que la fonction f est dérivable pour tout x de R*.
b) Démontrer que pour tout x de R*: f'(x)= (x-V2)(x+V2)/ 2x²
Déduisez-en le tableau de variation de f sur R*.



2) La suite (Un) est définie par u0=3/2 et pour tout entier naturel n, Un+1=f(Un).
a)Calculez u1 et u2.(Donnez les résultats sous la forme de fractions , puis sous forme décimale arrondie à 10^-5).
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, V2 rac(2) donc 1/U(n) < 1/rac(2) c'est à dire 1/U(n) < rac(2)/2
Donc : U(n+1) - 1/2 U(n) = 1/U(n)) < rac(2)/2
Donc : U(n+1) < 1/2 U(n) + rac(2)/2
Donc : U(n+1) - rac(2) < 1/2 U(n) + rac(2)/2 - rac(2)
Donc : U(n+1) - rac(2) < 1/2 U(n) - rac(2)/2

[thepilot08]

On a : U(n+1) = 1/2 U(n) + 1/U(n))
Donc U(n+1) - 1/2 U(n) = 1/U(n))
Mais on a démontré que : U(n) > rac(2) donc 1/U(n) rac(2)/2
Donc : U(n+1) > 1/2 U(n) + rac(2)/2
Donc : U(n+1) - rac(2) > 1/2 U(n) + rac(2)/2 - rac(2)
Donc : U(n+1) - rac(2) > 1/2 U(n) - rac(2)/2

le problème c'est que je dois trouver U(n+1)- rac(2)<1/2 Un -rac(2)/2
tu as dit que c'etait superieur

[titine]

Oh pardon ! Voila ce que c'est que de faire des copié-collé !!
Remonte dans mon message précédent, j'ai rectifié !