Démonstration

[Ramanujan71]

J'ai feuilleté mon livre de spé et un exercice m'a plutôt intéressé:
Pour tout n entier, a le même chiffre des unités que n. Vrai ou Faux?
Ma calculatrice semble dire vrai mais comment prouver ce résultat? :doh:
(d'ailleurs on ne demande même pas de justification)

[chan79]

J'ai feuilleté mon livre de spé et un exercice m'a plutôt intéressé:
Pour tout n entier, a le même chiffre des unités que n. Vrai ou Faux?
Ma calculatrice semble dire vrai mais comment prouver ce résultat? :doh:
(d'ailleurs on ne demande même pas de justification)

slt
seul compte le chiffre des unités

[SaintAmand]

J'ai feuilleté mon livre de spé et un exercice m'a plutôt intéressé:
Pour tout n entier, a le même chiffre des unités que n. Vrai ou Faux?
Ma calculatrice semble dire vrai mais comment prouver ce résultat?

Souviens toi de quelle manière tu as appris à poser une multiplication à l'école élémentaire.

Sinon, plus formellement, cela résultat de l'implication

[C.Ret]

Si je ne me trompe pas, cela prouve que si est le chiffre des unité de , alors on obtient le chiffre des unité de en calculant .

Mais cela ne prouve pas que le chiffre des unités de est !

Ou alors quelque subtilité m'échappe ?

[Luc]

Si je ne me trompe pas, cela prouve que si est le chiffre des unité de , alors on obtient le chiffre des unité de en calculant .

Mais cela ne prouve pas que le chiffre des unités de est !

Ou alors quelque subtilité m'échappe ?

Salut, effectivement on pourrait imaginer que et soient différents mais il se trouve qu'ils sont égaux (il y a un nombre fini de cas, et ils sont tous vrais).

[C.Ret]

C'est d'autant plus surprenant que pour les autres puissances, le chiffre des unités n'est pas conservé !

Avec la puissance 5 ça marche ! Est-ce quelque chose de fondamental, ou un gros coup de bol ?


Bon, j'essaye d'y voir plus clair.

Si n est multiple de 10, n^5 est aussi un multiple de 10. Donc n et n^5 se termine tous les deux par 0
Si n est un multiple de 5, même raisonnement et les chiffres des unités de n et n^5 seront aussi 5

Mais pour deux ?
Comme l'a dit chan79, à chaque multiplication, le chiffre des unités de n^5 ne dépend que du chiffre des unités de chaque étape.

Donc pour n finissant par 2, calculer n^5 revient à multiplier le 2 final par . Par chance qui a bien pour chiffre des untiés !

Pour n finissant par 3, on a 3^4=81 et donc 3*81 = 243. Là aussi coup de bol (ou truc fondamental de la thérorie des nombres ??)

Pour 4, 4^4=256 et 4*256=1024 il y a là aussi conservation du 4 terminal !

Pour 6, 6^4 = 1296 et 6*6=7776 !
Pour 7, 7^4 = 2401 et 7*1= 1 !
Pour 8, pour 9 etc...

Coup de chance ou une raison fondamentale ? 5 est justement la moitiè de la base.

Tiens, bonne question (#1A_h)^5 = #B54BA0_h en base hexadécimale.
On observe que dans cette base, le chiffre des unité (ici A) n'est plus conservé.
Tiens.Tiens.

[Luc]

Effectivement on a plusieurs questions naturelles :
1 - existe-t-il une généralisation de ce phénomène à n'importe quelle base? C'est à dire, si b est la base, b pair, a-t-on que pour tout entier n, le chiffre des unités de n est le même que celui de ?
2 - En base 10, existe-t-il d'autres entiers d tels que pour tout entier n, le chiffre des unités de n est le même que celui de ?

En arithmétique on dispose de structures très particulières qui font que l'on est pas obligé de calculer le résultat d'une opération (a priori très couteuse en temps de calcul) pour connaître son chiffre des unités. Il suffit de faire les calculs modulo une certaine quantité (ici, les multiples de la base b, ou de 10 dans ce cas). Cette multiplication simplifiée est beaucoup moins gourmande en temps de calcul. Il se trouve que la multiplication est compatible avec le modulo. En termes savants, on dit que l'on calcule dans l'anneau quotient .
Dans l'anneau , on dispose du petit théorème de Fermat : tout élément élevé à la puissance vaut 1. est appelé l'indicatrice d'Euler. Sa valeur est égale au nombres d'entiers positifs inférieurs ou égaux à n dont le seul diviseur commun avec n est 1. De tels entiers sont dits premiers avec n. Par exemple, calculons . 1 est premier avec 10, 2 ne l'est pas, 3 est premier avec 10, 4 ne l'est pas, 5 ne l'est pas, 6 ne l'est pas, 7 est premier avec 10, 8 ne l'est pas, 9 est premier avec 10. Au total, on a donc 4 nombres premiers avec 10, donc .
En appliquant le petit théorème de Fermat, on obtient que pour tout élément de , on a . Donc .
Le comportement exceptionnel de la puissance 5 pour la base 10 n'est donc pas lié au fait que 5 est la moitié de 10, mais à ce que 5=4+1, et que .

Pour répondre à la première question, on peut donc généraliser ce phénomène à n'importe quelle base, mais pas de la façon dont on l'a envisagé dans un premier temps. Une généralisation correcte serait :
- Pour toute base , et tout entier , et ont le même chiffre des unités dans la base .
On peut de même répondre à la deuxième question et caractériser l'ensemble des entiers tels que et ont le même chiffre des unités en base 10. Ce sont exactement les . On peut en exercice voir ce que ça donne pour la base hexadécimale.