Demonstration

[Anonyme]

Bonjour,

Est ce qu'il y a une démonstration géométrique de cos(a-b)=cosacosb+sinasinb ?

Par géométrique je veux dire sans utilisation des vecteur et donc pas de produit scalaire un peu comme celle de la duplication du sinus.

Merci

[nodgim]

C'est vers la méthode géométrique que je me tourne quand j'ai oublié la formule.

[Anonyme]

J'ai pas trop compris ton message.
Est ce tu connais une démonstration géométrique (sans vecteurs )?

[Anonyme]

Personne ?

[Dinozzo13]

Salut !
Je te propose ça
http://mathscyr.free.fr/themes/produitscalaire/ProduitscalaireCOURS/produitscalaireapplications.htm

[Ben314]

Salut,

1) Montrer que .
2) Montrer que .
3) Conclure...

[Anonyme]

Salut,

1) Montrer que .
2) Montrer que .
3) Conclure...

Tres beau :zen: Merci

Juste pour être sur:
1)facile on démontre par les triangles semblables ou en écrivant de deux façon cos(b)

2) Soit J le point d'intersection de (AP) et (MR) et notons l'angle AJR


On additionne


Après pour le 3 on additionne (1) et (2)

Maintenant le fait que tu n'a pas mis J sur la figure me laisse penser qu'on en avait pas besoin. Si c'est le cas j'aimerais bien voir comment tu as fait la 2eme question.

Autre chose: Comment généraliser le résultat aux angles obtus et négatifs ?

Merci

[Anonyme]

Alors Ben ?

[Ben314]

Désolé pour le retard... (j'avais complètement oublié...)

La soluce que tu propose pour le 2) fonctionne parfaitement. Tu peut a la rigueur écrire directement écrire JR=JAsin(b) aprés avoir constaté que l'angle JAR vaut b (AJ perpendiculaire à OP et AR perpendiculaire à OB)

Concernant le point J, on peut s'en passer si on connait la notion de "rapport de projection" : ici il faut évaluer le rapport de la projection orthogonale de la droite (AP) sur la droite (OB) qui est le cosinus de l'angle entre les deux droites.
Cela peut permettre d'écrire directement MR=cos(alpha)AP [mais vu le gain de temps dans la preuve, ce n'est pas super indispensable et elle est "plus élémentaire" si on introduit J]

[Anonyme]

Concernant le point J, on peut s'en passer si on connait la notion de "rapport de projection" : ici il faut évaluer le rapport de la projection orthogonale de la droite (AP) sur la droite (OB) qui est le cosinus de l'angle entre les deux droites.
Cela peut permettre d'écrire directement MR=cos(alpha)AP [mais vu le gain de temps dans la preuve, ce n'est pas super indispensable et elle est "plus élémentaire" si on introduit J]

Je ne conaissais pas cette notion ... je verrais.

Est ce qu'a partir de ce qu'on viens de démontrer on peut généraliser le résultat aux angles obtus et négatifs ? Si non comment faire ?

Merci

[Ben314]

On peut montrer que la formule reste vraie pour tout angles a et b, en utilisant quelques "formules de symétries" du style cos(-x)=cos(x) ; cos(pi-x)=cos(pi+x)=-cos(x) pour se ramener à des angles entre 0 et pi/2.
La condition a>b quand à elle est évidement toujours vérifiée à condition d'accepter de permuter les roles de a et b.

Sinon, tu peut bien sûr faire le même dessin dans les cas des angles obtus en prenant garde que certaines longueurs ne sont plus des sinus et des cosinus mais leurs opposés

[Anonyme]

On peut montrer que la formule reste vraie pour tout angles a et b, en utilisant quelques "formules de symétries" du style cos(-x)=cos(x) ; cos(pi-x)=cos(pi+x)=-cos(x) pour se ramener à des angles entre 0 et pi/2.
La condition a>b quand à elle est évidement toujours vérifiée à condition d'accepter de permuter les roles de a et b.

Sinon, tu peut bien sûr faire le même dessin dans les cas des angles obtus en prenant garde que certaines longueurs ne sont plus des sinus et des cosinus mais leurs opposés

J'essayerai de faire cela demain ou plus tard ... la j'ai pas trop le temps d'essayer.

Je te tiendrai au courent en cas d'echec.

Merci pour tout Ben